Трапеция
Определение
Трапеция - это четырехугольник, у которого у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны
Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а не параллельные - боковыми сторонами
Равнобедренная трапеция
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны
Равные углы при основании равнобедренной трапеции
Докажем, что углы при основании равнобедренной трапеции равны
Дано: MNKT-трапеция, MN=KT
Доказать: ∠M = ∠T
Доказательство: проведем NP так чтобы NP || KT
Так как KT || NP, NK || PT, то PNKT - параллелограмм, следовательно, NP = KT и NK = PT
Рассмотрим треугольник MNP: MN = KT = NP, следовательно, ΔMNP - равнобедренный, следовательно, ∠PMN = ∠MPN
NP || KT, PT - секущая, значит ∠MPN = ∠PTK как соответственные
Так как ∠PMN = ∠MPN и ∠MPN = ∠PTK, то ∠PMN = ∠PTK
ч.т.д.
Равные диагонали равнобедренной трапеции
Докажем, что если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная
Дано: MNKT - трапеция, NT = MK
Доказать: MNKT - равнобедренная трапеция
Доказательство: проведем прямую KP, которая будет параллельна NT
Так как NT || KP, MP - секущая, то ∠NTM = ∠KPT как соответственные
NK || TP, NT || KP, следовательно, TNKP - параллелограмм, следовательно, NT = KP
Рассмотрим треугольник MKP: MK = NT = KP, следовательно, ΔMKP - равнобедренный, следовательно, ∠KMP = ∠KPM
Так как ∠NTM = ∠KPT и ∠KMP = ∠KPM, то ∠KMP = ∠NTM
Рассмотрим треугольники MTN и TMK: ∠KMT = ∠NTM, MK = NT, MT - общая сторона, следовательно ΔMTN = ΔTMK, следовательно, MN = KT, следовательно, трапеция MNKT - равнобедренная
ч.т.д.
Прямоугольная трапеция
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной