Соотношения между сторонами и углами в треугольнике
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
Теорема. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона
Дано: треугольник ,
Доказать:
Доказательство: на стороне отложим отрезок . Тогда мы получим равнобедренный треугольник , в котором
По рисунку видно, что . внешний угол треугольника , следовательно, , значит . Таким образом . Прямая теорема доказана
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
Дано: треугольник ,
Доказать:
Доказательство: предположим противное
- , тогда треугольник равнобедренный, значит , но это противоречит условию
- , тогда по прямой теореме противоречие условию теоремы
Так как наши предположения оказались неверными, то . Обратная теорема доказана
Следствия из теоремы
Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета
Так как в прямоугольном треугольнике наибольшим является прямой угол, то сторона, лежащая против него, будет наибольшей.
Следствие 2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника)
Если предположить, что одна из сторон, лежащая против одного из равных углов, больше другой, лежащей против другого равного угла, больше, то тогда и угол, лежащий против этой стороны, тоже будет больше, но это противоречит условию
Неравенство треугольника
Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
Дано: треугольник
Доказать:
Доказательство: отложим на луче отрезок . Тогда треугольник будет равнобедренным, значит . В треугольнике ABD , следовательно , но по построению . Таким образом . Теорема доказана
Следствие из теоремы
Следствие. Для любых трех точек , не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
Данные неравенства называются неравенствами треугольника