Как найти дискриминант?

cover
10274
Главная тема в математике 8 класса — квадратные уравнения. Их можно решать несколькими способами, и печально, когда не знаешь ни одного. В этой статье расскажем, что такое дискриминант и как решить уравнение с его помощью.
23 ноября 2023 г.
Содержание статьи

Основные понятия

Для начала давай разберемся, к чему мы вообще про это заговорили. 

В 8 классе появляются квадратные уравнения. 


Квадратное уравнение — это уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где коэффициенты а, b, c — любые действительные числа, причем а не равно 0. 


Они могут быть полными (когда коэффициенты b, c тоже не равны нулю) и неполными. 

Сегодня нас интересуют полные квадратные уравнения. 


Примеры: 

2 + 2x + 1 = 0

Все коэффициенты не равны нулю, перед нами полное квадратное уравнение. 


12х2 + 3x = -8

2 = 4x+1

Перенеся правую часть к левой, изменив знаки, мы получим опять же полное квадратное уравнение. 


Решить уравнение — значит найти его корень. 


Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство. 


Переводим: решить уравнение — найти то значение x, при котором получившееся выражение будет правдой. 


Собственно, самый простой способ решить полное квадратное уравнение — через дискриминант квадратного уравнения.


Дискриминант (D) — число, описывающее свойство коэффициентов квадратного многочлена, вычисляемое по формуле D = b2 – 4ас 


Пока мозг не закипел, поясняем: эту штуку придумали, чтобы не сразу начинать подбирать значение x, а сперва выяснить, существует ли вообще такое значение. 


В соответствии с теоремой есть три варианта: 

D < 0 — уравнение не имеет корней, верного значения x не существует, можно выдохнуть и дальше не решать.

D = 0 — уравнение имеет только одно возможное значение x, как только ты его найдешь, дальше искать не надо.

D > 0 — у уравнения два корня, пока их не найдешь, учительница не отстанет.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант?

Алгоритм прост. 

  1. Приводим квадратное уравнение к полному виду ах2 + bx + c = 0
  2. Вычисляем дискриминант по формуле D = b2 – 4ас 
  3. В зависимости от полученного значения определяем количество корней:

3.1 D отрицательный (меньше нуля) — корней нет.

3.2 D равен нулю — один корень, вычисляемый по формуле х = (-b)/2a

3.3 D больше нуля — два корня, вычисляемые по формулам х1 = (-b - √D)/2a , и х2 = (-b + √D)/2a .

Примеры

Решаем уравнение 2х2 + х + 6 = 0.

а = 2, b = 1, c = 6

D = 12 – 4 · 2 · 6 = – 48

D < 0

Ответ: уравнение не имеет корней.


Попробуем другое: 

2 + 4х – 6 = 0.

а = 2, b = 4, c = (-6)

D = 42 – 4 · 2 · (–6) = 16 – (–48) = 16 + 48 = 64

D > 0, ищем два корня


х1 = (-4 - √64)/(2·2) = (-4 - 8)/4 = –12/4 = –3

х2 = (-4 + √64)/(2·2) = (-4 + 8)/4=1

Ответ: – 3 ; 1.


Следующее уравнение

2 - 12x + 4 = 0.

а = 9, b = -12, c = 4


D = (-12)2 – 4 · 9 · 4 = 144 – 144 = 0

D = 0, ищем один корень. 

x = (- (-12))/2 · 9 = 12/18 = 2/3

Ответ: 2/3

Проверь себя

1. Верная формула дискриминанта: 

— D = b2 – 4ас 

— D = а2 – 4bс 

— D = –b2 – 4ас 


2. Уравнение имеет два корня только в случае, если дискриминант: 

— равен нулю

— меньше нуля

— больше нуля


3. В каком из этих уравнений один корень?

— 2x2 + 5x −7 = 0

— 16x2 − 8x + 1 = 0

— 2х2 + 2х + 1 = 0

Admin1