Как найти дискриминант?

Основные понятия
Для начала давай разберемся, к чему мы вообще про это заговорили.
В 8 классе появляются квадратные уравнения.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где коэффициенты а, b, c — любые действительные числа, причем а не равно 0.
Они могут быть полными (когда коэффициенты b, c тоже не равны нулю) и неполными.
Сегодня нас интересуют полные квадратные уравнения.
Примеры:
4х2 + 2x + 1 = 0
Все коэффициенты не равны нулю, перед нами полное квадратное уравнение.
12х2 + 3x = -8
5х2 = 4x+1
Перенеся правую часть к левой, изменив знаки, мы получим опять же полное квадратное уравнение.
Решить уравнение — значит найти его корень.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Переводим: решить уравнение — найти то значение x, при котором получившееся выражение будет правдой.
Собственно, самый простой способ решить полное квадратное уравнение — через дискриминант квадратного уравнения.
Дискриминант (D) — число, описывающее свойство коэффициентов квадратного многочлена, вычисляемое по формуле D = b2 – 4ас
Пока мозг не закипел, поясняем: эту штуку придумали, чтобы не сразу начинать подбирать значение x, а сперва выяснить, существует ли вообще такое значение.
В соответствии с теоремой есть три варианта:
D < 0 — уравнение не имеет корней, верного значения x не существует, можно выдохнуть и дальше не решать.
D = 0 — уравнение имеет только одно возможное значение x, как только ты его найдешь, дальше искать не надо.
D > 0 — у уравнения два корня, пока их не найдешь, учительница не отстанет.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант?
Алгоритм прост.
- Приводим квадратное уравнение к полному виду ах2 + bx + c = 0
- Вычисляем дискриминант по формуле D = b2 – 4ас
- В зависимости от полученного значения определяем количество корней:
3.1 D отрицательный (меньше нуля) — корней нет.
3.2 D равен нулю — один корень, вычисляемый по формуле х = (-b)/2a
3.3 D больше нуля — два корня, вычисляемые по формулам х1 = (-b - √D)/2a , и х2 = (-b + √D)/2a .
Примеры
Решаем уравнение 2х2 + х + 6 = 0.
а = 2, b = 1, c = 6
D = 12 – 4 · 2 · 6 = – 48
D < 0
Ответ: уравнение не имеет корней.
Попробуем другое:
2х2 + 4х – 6 = 0.
а = 2, b = 4, c = (-6)
D = 42 – 4 · 2 · (–6) = 16 – (–48) = 16 + 48 = 64
D > 0, ищем два корня
х1 = (-4 - √64)/(2·2) = (-4 - 8)/4 = –12/4 = –3
х2 = (-4 + √64)/(2·2) = (-4 + 8)/4=1
Ответ: – 3 ; 1.
Следующее уравнение
9х2 - 12x + 4 = 0.
а = 9, b = -12, c = 4
D = (-12)2 – 4 · 9 · 4 = 144 – 144 = 0
D = 0, ищем один корень.
x = (- (-12))/2 · 9 = 12/18 = 2/3
Ответ: 2/3
Проверь себя
1. Верная формула дискриминанта:
— D = b2 – 4ас
— D = а2 – 4bс
— D = –b2 – 4ас
2. Уравнение имеет два корня только в случае, если дискриминант:
— равен нулю
— меньше нуля
— больше нуля
3. В каком из этих уравнений один корень?
— 2x2 + 5x −7 = 0
— 16x2 − 8x + 1 = 0
— 2х2 + 2х + 1 = 0