Средняя линия треугольника

cover
1376
Треугольник в геометрии — вроде простой, а вроде нет. Три линии, три угла, три вершины, а интересных мелочей много. Средняя линия треугольника — одна из таких особенностей. Разобрали ее определение и свойства в статье.
4 июля 2024 г.
Содержание статьи

Понятие средней линии треугольника

Для начала давай разберемся в основах. 


Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна половине её длины.


 По сути, это можно представить как ремешок, который обхватывает “талию” фигуры. Так как стороны в треугольнике три, то и средних линий у него может быть максимум три.

Свойства

Теперь перейдем к тонкостям — свойствам средней линии и парочке занимательных формул для работы с ними: 


1) Во-первых, средняя линия, проведенная между двумя сторонами, всегда параллельна третьей. И вот что интересно — ее длина ровно в два раза меньше длины этой стороны. Так что не нужно ломать голову над тем, как правильно находить представителей “класса” средних — достаточно обнаружить параллельность или установить взаимотношение длин стороны и отрезка.


2) Более того, средняя линия треугольника образует новый треугольник, который меньше исходного в 2 раза. Это значит, что углы нового треугольника будут такие же, а стороны в два раза меньше. Его площадь составляет четверть площади исходного треугольника.


3) Три средние линии поделят делят исходный треугольник на четыре равных, при этом центральный будет называться дополнительным. 


4) В случае прямоугольного треугольника три средние линии поделят его на четыре равных, и тоже прямоугольных. 

Давай потренируемся на решении задачи:


Дано:

Площадь △ABC = 8

DE — средняя линия

Чему будет равна площадь трапеции DBCE?


Решение:


Вспоминаем новую формулу S△BAC = 4S△BDE. Если площадь ABC = 8, то у ADE она будет меньше в четыре раза.


84=2


Площадь трапеции DBCE мы найдем, если вычтем площадь маленького треугольника из большого. 


S DBCE = S△BAC - S△BDE = 8 - 2=6


Ответ: 6.

Теорема о средней линии треугольника

По сути, теорема о средней линии треугольника — это то самое определение средней лини, с которым мы тебя познакомили в начале. Но сейчас давай попробуем разобраться подробнее:


Теорема:


Средняя линия — это прямая, параллельная противолежащей ей стороне треугольника и равная половине длины этой стороны


Доказательство:


Давай докажем, что DE (средняя линия △АВС) параллельна AC, и ее длина вдвое меньше длины AC.


  1. Треугольники BDA и BAC подобны, так как пропорции их сторон одинаковы.
  2. Значит, соотношения длин соответствующих сторон в этих треугольниках равны.
  3. Следовательно, BDBA = 12и BEBC = 12.

Поскольку ∠1 равен ∠ 2 (они вертикальные), DE параллельна AC. Так как стороны △ ADE меньше сторон △ ABC вдвое, DE будет равна половине длины AC. Теорема доказана.


Давай попрактикуемся немного и решим задачу на это свойство:


Дано:

В △ ABC DE — средняя линия

AD = 3

ВС = 9

P△ ABC = 25

Найди АС.


Решение:


Для начала найдем AB:

  1. По теореме о средней линии треугольника, AD = 1/2 BC.
  2. Таким образом, AB = 2 AD = 2 3 = 6.

Теперь мы можем найти AC:

  1. Периметр △ ABC = 25, а это сумма всех сторон
  2.  AB + BC + AC = 25.
  3. Подставляем известные значения: 6 + 9 + AC = 25.
  4. Решаем уравнение: AC = 25 — 6 — 9 = 10.

Итак, AC = 10.

Заключение

Сперва освоение концепции средней линии треугольника может показаться делом сложным, но это только поначалу, поверь! С практикой придет и опыт, а с ним задачи по геометрии будут щелкаться как семечки. А если на твоем пути возникнут трудности — мы в «Сотке» всегда рады помочь. Наши наставники уже не первый год готовят к ОГЭ и ЕГЭ по математике, и знают, как разобрать даже самую сложную тему легко и доступно. Записывайся на бесплатное пробное занятие и убедись на практике! К слову о практике…


Давай проверим новые знания!

Проверь себя

Как располагается средняя линия треугольника между двумя его сторонами относительно третьей стороны?

  1. перпендикулярна ей
  2. пересекается с ней 
  3. параллельна ей


Дано:


DE = 7 см

AD = 5 см

AE = 8 см

Чему равен периметр △АВС?

  1. 40 см
  2. 60 см
  3. 80 см


Дано:

S△ADE = 64 см2


Чему равна площадь BDEC?

  1. 256 см2
  2. 192 см2
  3. 128 см2
Admin1