Средняя линия треугольника

Понятие средней линии треугольника
Для начала давай разберемся в основах.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна половине её длины.
По сути, это можно представить как ремешок, который обхватывает “талию” фигуры. Так как стороны в треугольнике три, то и средних линий у него может быть максимум три.

Свойства
Теперь перейдем к тонкостям — свойствам средней линии и парочке занимательных формул для работы с ними:
1) Во-первых, средняя линия, проведенная между двумя сторонами, всегда параллельна третьей. И вот что интересно — ее длина ровно в два раза меньше длины этой стороны. Так что не нужно ломать голову над тем, как правильно находить представителей “класса” средних — достаточно обнаружить параллельность или установить взаимотношение длин стороны и отрезка.
2) Более того, средняя линия треугольника образует новый треугольник, который меньше исходного в 2 раза. Это значит, что углы нового треугольника будут такие же, а стороны в два раза меньше. Его площадь составляет четверть площади исходного треугольника.
3) Три средние линии поделят делят исходный треугольник на четыре равных, при этом центральный будет называться дополнительным.
4) В случае прямоугольного треугольника три средние линии поделят его на четыре равных, и тоже прямоугольных.
Давай потренируемся на решении задачи:
Дано:
Площадь △ABC = 8
DE — средняя линия
Чему будет равна площадь трапеции DBCE?
Решение:
Вспоминаем новую формулу S△BAC = 4S△BDE. Если площадь ABC = 8, то у ADE она будет меньше в четыре раза.
84=2
Площадь трапеции DBCE мы найдем, если вычтем площадь маленького треугольника из большого.
S DBCE = S△BAC - S△BDE = 8 - 2=6
Ответ: 6.
Теорема о средней линии треугольника
По сути, теорема о средней линии треугольника — это то самое определение средней лини, с которым мы тебя познакомили в начале. Но сейчас давай попробуем разобраться подробнее:
Теорема:
Средняя линия — это прямая, параллельная противолежащей ей стороне треугольника и равная половине длины этой стороны
Доказательство:
Давай докажем, что DE (средняя линия △АВС) параллельна AC, и ее длина вдвое меньше длины AC.
- Треугольники BDA и BAC подобны, так как пропорции их сторон одинаковы.
- Значит, соотношения длин соответствующих сторон в этих треугольниках равны.
- Следовательно, BDBA = 12и BEBC = 12.
Поскольку ∠1 равен ∠ 2 (они вертикальные), DE параллельна AC. Так как стороны △ ADE меньше сторон △ ABC вдвое, DE будет равна половине длины AC. Теорема доказана.
Давай попрактикуемся немного и решим задачу на это свойство:
Дано:
В △ ABC DE — средняя линия
AD = 3
ВС = 9
P△ ABC = 25
Найди АС.
Решение:
Для начала найдем AB:
- По теореме о средней линии треугольника, AD = 1/2 BC.
- Таким образом, AB = 2 AD = 2 3 = 6.
Теперь мы можем найти AC:
- Периметр △ ABC = 25, а это сумма всех сторон
- AB + BC + AC = 25.
- Подставляем известные значения: 6 + 9 + AC = 25.
- Решаем уравнение: AC = 25 — 6 — 9 = 10.
Итак, AC = 10.
Заключение
Сперва освоение концепции средней линии треугольника может показаться делом сложным, но это только поначалу, поверь! С практикой придет и опыт, а с ним задачи по геометрии будут щелкаться как семечки. А если на твоем пути возникнут трудности — мы в «Сотке» всегда рады помочь. Наши наставники уже не первый год готовят к ОГЭ и ЕГЭ по математике, и знают, как разобрать даже самую сложную тему легко и доступно. Записывайся на бесплатное пробное занятие и убедись на практике! К слову о практике…
Давай проверим новые знания!
Проверь себя
Как располагается средняя линия треугольника между двумя его сторонами относительно третьей стороны?
- перпендикулярна ей
- пересекается с ней
- параллельна ей
Дано:
DE = 7 см
AD = 5 см
AE = 8 см
Чему равен периметр △АВС?
- 40 см
- 60 см
- 80 см
Дано:
S△ADE = 64 см2
Чему равна площадь BDEC?
- 256 см2
- 192 см2
- 128 см2