Теория игр
Что такое теория игр
Погружение в основы теории игр открывает новые возможности для понимания и предсказания игровых сценариев.
Представим, что два друга, Ваня и Аня списали контрольную. Но получилось слишком похоже, и учитель заподозрил хитрость. Он решил спросить их по отдельности, списывал ли кто-то. У Вани и Ани есть два варианта: ничего не рассказывать или сдать другого.
Таким образом от стратегии каждого ученика зависит результат. И теория игр позволяет проанализировать поведение участников и оптимизировать принятие решений, чтобы достичь общего успеха или выиграть самому.
Математическая теория игр — это область математики, которая изучает стратегии и взаимодействие между решающими сторонами, называемыми игроками. Количество игроков может быть от двух и более.
Если мы посмотрим на таблицу, то увидим, что при пересечении определенных решений игроков получается определенный положительный или отрицательный результат — выигрыш. Важно понимать, какие решения принимают игроки, как они могут повлиять на ситуацию, чтобы предсказывать возможные исходы и оптимизировать свои стратегии.
Стратегия
Стратегия в теории игр — это полноценный план действий, который выбирает игрок.
Этот план включает в себя решения, принятые игроком в различных ситуациях при каждом из возможных выборов других игроков, и его цель — максимизировать выгоду или минимизировать потери.
Стратегия по сути — это целый алгоритм продуманных заранее ходов в течение всей игры. То есть при каждом новом исходе игрок со своей стратегией уже знает, как поступить дальше.
Виды игр
Существует множество видов игр: от нулевой суммы до кооперативных. Рассмотрим некоторые из них.
Что такое загадочная нулевая сумма, например?
Все просто. В этом виде игр есть одно правило: если выигрывает один, то обязательно проигрывает другой. Выигрыш равен проигрышу. Если игры ненулевой суммы, то выигрыш одного игрока может и не подразумевать проигрыша другого, но и не исключает его.
А что за кооперативы?
Кажется, и тут все не слишком сложно. Кооперативные игры заключаются в конфликте, в ходе которого игроки могут объединять стратегии, чтобы достичь наилучшего исхода. Некооперативные, соответственно, являются противоположностью, в которой каждый сам за себя.
Есть еще параллельные и непараллельные игры. Здесь тоже все очевидно из названий. В случае параллельных — игроки ходят одновременно, а в случае непараллельных — по очереди, и могут видеть результат предыдущего хода другого игрока.
В некоторых играх участники конкурируют, в других — сотрудничают. Каждая игра предоставляет уникальные сценарии для анализа и применения теории игр.
Равновесие Нэша
А сейчас мы немного отвлечемся от стратегий и познакомимся с одним из главных действующих исторических лиц теории игр. Это великий математик Джон Нэш, который защитил диссертацию и сделал множество открытий в этой области. А еще получил Нобелевскую премию «За фундаментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр».
И именно о равновесии, которое исследовал наш герой, мы поговорим сейчас, потому что это одно из ключевых правил в этой науке.
Равновесие Нэша — это ситуация, при которой ни один игрок не может улучшить свой результат, меняя свою стратегию, при условии, что другие игроки не меняют свои стратегии.
Такое равновесие создает устойчивость в игровом взаимодействии и активно применяется в экономике и политологии.
Математическая модель в теории игр
Математические модели используются для анализа и описания игровых ситуаций. То есть по сути мы представляем любую конфликтную ситуации в виде математической модели, чтобы определить, какие возможны исходы при ведении той или иной стратегии.
Вернемся к Ване и Ане с их списанной работой. В таблицы мы представили математическую модель их конфликта. Если представить проще, каждый из игроков может выбрать одну из двух стратегий «сотрудничество» или «предательство».
И из математической модели мы видим, что если оба выбирают стратегию «сотрудничество», то выгода у обоих будет «4», при выборе стратегии «предательство» один из игроков получает выгоду 5, а второй — 0. Если оба выбирают «предательство», то оба получают выгоду 0.
Матрицы и уравнения помогают представить стратегии и выигрыши в числовой форме, что облегчает анализ.
Проверь себя
Что такое теория игр?
– область математики, которая изучает компьютерные игры;
– область математики, которая изучает стратегии и взаимодействие игроков и исходы применения этих стратегий;
– наука о разработке игр.
Какие виды игр называют играми с нулевой суммой?
– игры, в которых выигрыш равен проигрышу;
– игры, в которых ничего не происходит;
– игры, в которых оба игрока могут выиграть.
В чем суть равновесия Нэша?
– игры разума какие-то;
– все должны делать одинаковые ходы;
– смена стратегии игроком не улучшит его результат при неизменных стратегиях других игроков.