Целые рациональные и дробно-рациональные уравнения
![cover](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705051356-65a104dc93b9c.png)
Как решать рациональные уравнения
Основной принцип решения таких заданий знаком нам еще с начальной школы: обе стороны выражения должны иметь одинаковое численное значение. А для этого нам нужно найти значения переменной (или переменных), которые удовлетворяют условиям, данным в задаче.
В математике встречаются уравнения разных видов: от линейных и квадратных до рациональных, иррациональных и тригонометрические. В этой статье мы будем разбирать именно рациональную категорию: посмотрим на их внешний вид, изучим особенности и распишем алгоритм решения.
Рациональные уравнения — это равенство двух рациональных выражений.
По большому счету слово «рациональный» здесь нужно только для того, чтобы показать, что в данном нам наборе цифр и букв нет знака корня — в противном случае оно называлось бы иррациональным.
Такие выражения могут включать в себя числа, переменные и их степени, а также математические знаки. Как правило, они принимают вид f(x) = 0 или f(x) = g (x) — при условии, что обе части являются рациональными.
При этом рациональные выражения бывают двух видов: целые и дробные. Обе части первого состоят из целых рациональных выражений, а в одной (или даже обеих) частях второго содержится дробь.
Алгоритм решения рационального уравнения достаточно прост.
- Сначала мы внимательно на него смотрим.
- Затем переносим все члены выражения в левую часть так, чтобы в правой остался только ноль. Тогда мы получаем запись в следующем виде: r (x) = 0.
- Анализируем получившееся выражение.
- Преобразовываем левую часть так, чтобы она получила вид алгебраической дроби p (x) / q (x) = 0, приводя все к общему знаменателю.
- Решаем уравнение p (x) = 0 и находим значения переменной.
- Выполняем проверку, подставив полученные значения в условие q (x) ≠ 0, чтобы исключить вероятность получения нуля в знаменателе.
- Перепроверяем запись решения.
- Записываем ответ, исключив из него корни, которые не удовлетворяют условию из пункта под номером 6.
Примеры решения рациональных уравнений
Алгоритм, который мы описали выше, звучит очень просто и понятно — но так ли все ясно на самом деле? Давай посмотрим, как эта схема работает с реальными заданиями.
Пример номер раз. Посмотрим на простое задание, которое может встретиться в любой контрольной:
Приступаем к решению.
Сначала нам нужно перенести все члены выражения в левую часть. Получается, х/2 + 3 – 7 = 0, то есть х/2 – 4 = 0.
Теперь преобразовываем левую часть, приводя все к общему знаменателю. Получается, х/2 – 8/2 = 0, то есть (х – 8) / 2 = 0.
Следующим шагом решаем уравнение х – 8 = 0. Получаем корень х = 8. Проверку в данном случае проводить не нужно, так как знаменатель не содержит переменную и при любом значении х не может быть равен нулю.
Записываем ответ: х = 8.
Пример номер два-с. Возьмем задание посложнее — но оно тоже запросто попадется в проверочной работе:
Начинаем!
И снова первым делом переносим все члены выражения в левую часть. Получается, 3х/4 – 2 – х/2 – 5 = 0, то есть 3х/4 – х/2 – 7 = 0.
Далее приводим левую часть к виду алгебраической дроби — то есть находим общий знаменатель: 3х/4 – 2х/4 – 28/4 = 0, то есть (х – 28) / 4 = 0.
Теперь решаем уравнение х – 28 = 0 и получаем корень х = 28. Проверку, опять-таки, проводить не нужно, так как в знаменателе нет переменной х.
Записываем ответ: х = 28.
Заметка: если бы, например, в начале этого уравнения нам встретилась дробь не 3х/4, а 4/3х, в этом случае нужно было бы сделать дополнительную проверку. Но это совсем просто, смотри: если 3х ≠ 0 (потому что знаменатель не может быть равен нулю), то и х ≠ 0. То есть, мы просто исключаем одно из возможных значений х.
Заключение
В общем, рациональные уравнения — это нечто вроде математических головоломок. Давай попробуем научиться воспринимать их решение как небольшое (а иногда и большое) алгебраическое приключение, где мы собираем части воедино, упрощаем выражения и ищем корни.
Кстати, мы снова попросили искусственный интеллект написать шутку про уравнения. Вот что получилось спустя пять попыток: «Два уравнения встречаются. Одно говорит другому: “Я вижу, ты решилось”. Другое отвечает: “Да, я нашло свои корни и теперь живу полной жизнью!”. Мы не будем комментировать эту шутку, просто оставим ее здесь. Вдруг кому-то пригодится.
А теперь пришло время проверить усвоенные знания!
Проверь себя
Попробуй самостоятельно решить задание ниже и выбери верный ответ из предложенных.
— х = 1.
— х = –9.
— х = 9.
Реши еще одно задание и выбери верный ответ из предложенных.
— х = 58 /17.
— х = 3,5.
— х = 12.
Ну и последнее.
— х = 0.
— х = 6.
— х = 3.
Похожие статьи
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1689940485-64ba7205bd0fa.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1690189302-64be3df6ccf9e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1690191540-64be46b418c6a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1690191971-64be4863646aa.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1690193683-64be4f1393f6a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691149920-64cce66097c40.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691151505-64ccec91c4fd6.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691153518-64ccf46ef13dd.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691154089-64ccf6a9e863a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691155516-64ccfc3cf0566.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691413637-64d0ec856fdf5.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691422437-64d10ee564b66.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691423154-64d111b2c0998.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691424040-64d11528e511b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691425322-64d11a2a32466.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1691765311-64d64a3f0bc39.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692353949-64df459da7ccb.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692355738-64df4c9ab0afb.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692356356-64df4f0488af5.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692358406-64df570606f24.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692360267-64df5e4b66c68.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692616490-64e3472aa3598.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692625091-64e368c3835a6.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692625665-64e36b01ef669.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692626139-64e36cdb7e0ac.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692626943-64e36fff0cfab.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692628021-64e37435b219e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692628746-64e3770ab402d.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692629741-64e37aedb1d49.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1692630093-64e37c4deff6b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1695372831-650d561fe4710.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1695373827-650d5a03b3dc9.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1695375272-650d5fa8ee5f7.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1695376283-650d639b0e69e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1695376818-650d65b24ca08.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1695379474-650d7012b6f70.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1695380700-650d74dc798c3.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1695381821-650d793deb3c6.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1696930805-65251bf57daea.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1696941650-6525465249285.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1696947513-65255d39e6086.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1696949178-652563bad33ad.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1697019552-652676a03bb7d.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1697040306-6526c7b2916c0.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1697476068-652d6de43ff73.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1697635929-652fde597e0ca.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1699026450-65451612a59bb.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1699028228-65451d04f39c7.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1699360526-654a2f0ed4a37.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1699363957-654a3c7593d4f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700218409-65574629dbcde.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700222463-655755ff79e8f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700222916-655757c4e40af.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700223324-6557595c567c8.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700223979-65575beba762b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700224394-65575d8a506d1.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700225484-655761ccd3d0a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700226394-6557655aaf2ab.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700227303-655768e7e4ff2.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700228032-65576bc08adb2.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700230280-65577488b2da3.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700233251-655780230452c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700749988-655f62a4dced7.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700750755-655f65a3e6cb9.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700751301-655f67c59c5c1.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700752135-655f6b076ca93.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700752433-655f6c312ec0a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700752732-655f6d5c3c1a5.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700753050-655f6e9a076d6.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700753703-655f7127367ab.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700754443-655f740ba4206.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700814670-65605f4ecb62d.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700815362-656062023957f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700817030-656068863dc11.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700817677-65606b0d22b74.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1700818018-65606c62a6a47.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701355682-6568a0a2c5762.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701360351-6568b2df58ffb.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701361033-6568b589483bd.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701361860-6568b8c4999f3.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701363297-6568be61dcd43.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701423190-6569a856835eb.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701423520-6569a9a069228.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701424230-6569ac663661e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701425200-6569b0300e867.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701425791-6569b27fed48e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701426189-6569b40ddac0f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701426856-6569b6a86bb84.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701427197-6569b7fd3e368.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701427962-6569bafa9a178.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701428432-6569bcd01b156.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701428850-6569be7293192.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701429400-6569c0980fc56.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701429764-6569c20419df1.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701430368-6569c460ab1d6.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1701430819-6569c6235a027.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702028124-6572e35c70f40.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702028957-6572e69d68c04.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702029726-6572e99e3283f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702030581-6572ecf5b567a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702031879-6572f2077d60a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702032490-6572f46af3021.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702033501-6572f85d0183e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702034041-6572fa798b563.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702034753-6572fd41199f0.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702035221-6572ff159cabf.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702035827-6573017345d42.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702036869-657305852c41e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702038760-65730ce843b15.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702041428-65731754dd49e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702041777-657318b1e3ef1.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702042362-65731afaa02e3.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702042829-65731ccd09ee4.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702043610-65731fda238cd.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702044332-657322acc6ab3.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702046057-65732969ad0eb.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702551874-657ae142cb6f1.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702562149-657b0965e5ac6.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702562819-657b0c03e3baf.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702637435-657c2f7be0390.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702638900-657c353430bf7.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702639660-657c382ce097b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702641955-657c412338f01.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702645080-657c4d5820665.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702646557-657c531dd66a8.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702647447-657c5697cbb4c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702648358-657c5a2608903.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702649126-657c5d26a5929.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702649872-657c6010815cb.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702650655-657c631f2d7db.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702652029-657c687deeb83.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702652421-657c6a05515ec.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702653179-657c6cfb79a25.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702653674-657c6eea47a27.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1702654608-657c72909f872.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703234075-65854a1bb0cc6.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703235038-65854dde9ef2f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703236441-6585535916c4b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703236933-6585554567a7d.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703240346-6585629aaff46.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703240879-658564af76b3c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703241137-658565b12a82b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703242292-65856a34da31e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703244176-6585719069716.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703244497-658572d12332a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703245054-658574fe8416c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703245674-6585776a9fafe.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703246539-65857acb66a18.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703247228-65857d7ce83ca.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703248163-658581233a866.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703249787-6585877bb5d0f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703250456-65858a18d1f53.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703251040-65858c60ee98b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703251457-65858e011421a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703252250-6585911abe730.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703843376-658e96302836c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703843875-658e98234fee0.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703844369-658e9a1186f9a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703845257-658e9d8975f06.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703845903-658ea00f3910a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703846317-658ea1ad80f88.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703847537-658ea671f40fa.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703848502-658eaa36c84ee.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703848809-658eab6986255.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703850088-658eb06832308.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703850480-658eb1f08727f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703850790-658eb32689b23.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703851785-658eb7099ee01.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703852320-658eb92072a5c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703852865-658ebb41dd302.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703853190-658ebc8613ea1.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703867491-658ef46368ec9.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1703868400-658ef7f063c29.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896364-659ea76cb7c9e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896433-659ea7b1bac1e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896471-659ea7d74cfa6.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896526-659ea80ea4349.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896558-659ea82ea8a68.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896595-659ea8530d28a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896619-659ea86be4878.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896649-659ea889ac3fa.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896695-659ea8b75ed60.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1704896721-659ea8d1d9180.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705048796-65a0fadc9b985.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705049442-65a0fd6255a67.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705050053-65a0ffc59223f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705050791-65a102a7ae7fc.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705051356-65a104dc93b9c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705052264-65a10868b9160.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705059407-65a1244f362c7.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705060560-65a128d0a51aa.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705061251-65a12b831f493.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705062194-65a12f32a42e4.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705062950-65a13226044c2.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705063899-65a135db0fa16.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705065089-65a13a81b0ac9.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705065579-65a13c6b7822a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705072538-65a1579a6dc6f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705073909-65a15cf509f2c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705074418-65a15ef2b5199.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705655876-65aa3e4475f41.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705656999-65aa42a7b20e3.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705658437-65aa4845f032a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705660876-65aa51ccc7298.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705662675-65aa58d3a152c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705666395-65aa675b4ea5b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705667173-65aa6a650799f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705668305-65aa6ed1efc55.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705669364-65aa72f409098.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705670038-65aa75966d0f3.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1705671680-65aa7c00a1acf.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706265457-65b38b715dfb5.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706268496-65b397500b1f8.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706269717-65b39c15881a6.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706270373-65b39ea5adb89.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706271244-65b3a20c26249.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706271765-65b3a415c048a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706273041-65b3a9116f303.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706273648-65b3ab70ecbda.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706274303-65b3adff35171.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706605927-65b8bd6736107.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706855695-65bc8d0fc8caa.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706856179-65bc8ef301d9a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706856690-65bc90f261bac.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706857432-65bc93d860d48.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706858167-65bc96b72ed73.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706858531-65bc982356d68.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706859457-65bc9bc1ab151.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706861236-65bca2b48b207.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706862090-65bca60a907b4.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706863039-65bca9bf46f98.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1706879868-65bceb7cd1e61.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1707464107-65c5d5ab3ad0d.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1707464713-65c5d80909f35.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1707465707-65c5dbeb03d59.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1707466228-65c5ddf456be9.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1707466804-65c5e034130af.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1707467162-65c5e19a45740.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1707467803-65c5e41bd9f4c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1707468340-65c5e63446132.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1707469044-65c5e8f468142.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708080948-65cf3f34624bb.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708086110-65cf535e959ee.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708091575-65cf68b72990c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708092087-65cf6ab7dc0ff.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708092864-65cf6dc0b3edc.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708093819-65cf717bcaef2.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708102002-65cf91726c1a8.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708102652-65cf93fcb2204.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708103255-65cf9657eb63e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708610215-65d752a79da41.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708611423-65d7575fabc79.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708612329-65d75ae93d85f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708613753-65d76079db0a1.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1708614182-65d7622665296.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709211666-65e0801269c3a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709216118-65e0917694953.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709217509-65e096e532e20.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709219016-65e09cc8729b5.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709222155-65e0a90b0f7d7.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709801295-65e97f4f2a964.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709802896-65e9859080878.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709803617-65e98861597fa.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709806890-65e9952a92d2a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1709809069-65e99dadd62e9.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1710409875-65f2c893b6e79.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1710410391-65f2ca971423a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1710410732-65f2cbec6d7a9.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1710411633-65f2cf7179d5a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1710412322-65f2d22221313.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711012040-65fbf8c80d909.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711014691-65fc032355465.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711015254-65fc0556484dc.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711016207-65fc090fe9637.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711016947-65fc0bf3db031.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711624248-6605503892fed.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711624869-660552a511daf.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711625036-6605534c87df0.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711626056-6605574885436.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1711627327-66055c3f43c7d.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1712220952-660e6b180e62a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1712221584-660e6d90ab158.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1715091069-663a367dd4ede.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1712223623-660e75876095b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1715091123-663a36b30e091.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1712840298-6617de6a3fed9.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1712841143-6617e1b7eda16.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1712842841-6617e859a54f1.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1712844053-6617ed1583a93.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1712845005-6617f0cdd2c7e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1713434133-6620ee15c4d05.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1713435332-6620f2c4b4c40.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1713436651-6620f7eb2f431.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1713438163-6620fdd335f91.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1713438512-6620ff30731ef.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1714124257-662b75e111f9b.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1714124824-662b7818192b1.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1714125662-662b7b5e05bbf.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1714127110-662b810663a0d.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1715088513-663a2c81a8b79.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1714658087-66339b2702e7e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1714658967-66339e97e999a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1716381513-664de749ee1b4.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1716381710-664de80e7e091.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1717054418-66582bd2a2eff.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1715940295-66472bc7b6615.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1716381851-664de89bc9ea0.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1716389349-664e05e56029c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1716550641-66507bf1c0455.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1717146367-665992ff6f856.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1717147273-6659968964204.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1717677282-6661ace2df2aa.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1717678261-6661b0b5c92e4.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1718353633-666bfee16b59f.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1718354180-666c010433359.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1718966721-667559c1e36cb.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1718967183-66755b8f54a4a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1719569285-667e8b85f2f2e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1719569739-667e8d4bbb0b9.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1720091892-668684f441361.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1720092539-6686877b82dd4.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1720697824-668fc3e0bc6c5.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1720698746-668fc77a50f4a.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1721294855-6698e00775aa3.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1721295384-6698e2187090e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1721903160-66a22838c4c67.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1721903787-66a22aab5c08e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1722532028-66abc0bc543bd.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1722532453-66abc2650ae09.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1723107362-66b488223de4e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1723108052-66b48ad4e6944.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1723800962-66bf1d8209622.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1723801727-66bf207f44af7.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1724330871-66c7337783b9c.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1724331875-66c737630593e.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1725041949-66d20d1d398bd.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1725042446-66d20f0e65bf0.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1725634916-66db1964eac16.png)
![](https://admin.sotkaonline.ru/storage/content_images/books-cover-image-1725636177-66db1e515ef80.png)