Основной принцип решения таких заданий знаком нам еще с начальной школы: обе стороны выражения должны иметь одинаковое численное значение. А для этого нам нужно найти значения переменной (или переменных), которые удовлетворяют условиям, данным в задаче.

В математике встречаются уравнения разных видов: от линейных и квадратных до рациональных, иррациональных и тригонометрические. В этой статье мы будем разбирать именно рациональную категорию: посмотрим на их внешний вид, изучим особенности и распишем алгоритм решения.

Рациональные уравнения — это равенство двух рациональных выражений. 

По большому счету слово «рациональный» здесь нужно только для того, чтобы показать, что в данном нам наборе цифр и букв нет знака корня — в противном случае оно называлось бы иррациональным.

Такие выражения могут включать в себя числа, переменные и их степени, а также математические знаки. Как правило, они принимают вид f(x) = 0 или f(x) = g (x) — при условии, что обе части являются рациональными.

При этом рациональные выражения бывают двух видов: целые и дробные. Обе части первого состоят из целых рациональных выражений, а в одной (или даже обеих) частях второго содержится дробь.

Алгоритм решения рационального уравнения достаточно прост. 

1. Сначала мы внимательно на него смотрим.
2. Затем переносим все члены выражения в левую часть так, чтобы в правой остался только ноль. Тогда мы получаем запись в следующем виде: r (x) = 0.
3. Анализируем получившееся выражение.
4. Преобразовываем левую часть так, чтобы она получила вид алгебраической дроби p (x) / q (x) = 0, приводя все к общему знаменателю.
5. Решаем уравнение p (x) = 0 и находим значения переменной.
6. Выполняем проверку, подставив полученные значения в условие q (x) ≠ 0, чтобы исключить вероятность получения нуля в знаменателе. 
7. Перепроверяем запись решения.
8. Записываем ответ, исключив из него корни, которые не удовлетворяют условию из пункта под номером 6.

Алгоритм, который мы описали выше, звучит очень просто и понятно — но так ли все ясно на самом деле? Давай посмотрим, как эта схема работает с реальными заданиями.

Пример номер раз. Посмотрим на простое задание, которое может встретиться в любой контрольной:

Приступаем к решению.

Сначала нам нужно перенести все члены выражения в левую часть. Получается, х/2 + 3 – 7 = 0, то есть х/2 – 4 = 0.

Теперь преобразовываем левую часть, приводя все к общему знаменателю. Получается, х/2 – 8/2 = 0, то есть (х – 8) / 2 = 0.

Следующим шагом решаем уравнение х – 8 = 0. Получаем корень х = 8. Проверку в данном случае проводить не нужно, так как знаменатель не содержит переменную и при любом значении х не может быть равен нулю.

Записываем ответ: х = 8.

Пример номер два-с. Возьмем задание посложнее — но оно тоже запросто попадется в проверочной работе:

Начинаем!

И снова первым делом переносим все члены выражения в левую часть. Получается, 3х/4 – 2 – х/2 – 5 = 0, то есть 3х/4 – х/2 – 7 = 0.

Далее приводим левую часть к виду алгебраической дроби — то есть находим общий знаменатель: 3х/4 – 2х/4 – 28/4 = 0, то есть (х – 28) / 4 = 0.

Теперь решаем уравнение х – 28 = 0 и получаем корень х = 28. Проверку, опять-таки, проводить не нужно, так как в знаменателе нет переменной х.

Записываем ответ: х = 28.

В общем, рациональные уравнения — это нечто вроде математических головоломок. Давай попробуем научиться воспринимать их решение как небольшое (а иногда и большое) алгебраическое приключение, где мы собираем части воедино, упрощаем выражения и ищем корни.

Кстати, мы снова попросили искусственный интеллект написать шутку про уравнения. Вот что получилось спустя пять попыток: «Два уравнения встречаются. Одно говорит другому: “Я вижу, ты решилось”. Другое отвечает: “Да, я нашло свои корни и теперь живу полной жизнью!”. Мы не будем комментировать эту шутку, просто оставим ее здесь. Вдруг кому-то пригодится.

А теперь пришло время проверить усвоенные знания!

Попробуй самостоятельно решить задание ниже и выбери верный ответ из предложенных.

— х = 1.

— х = –9.

— х = 9.

Реши еще одно задание и выбери верный ответ из предложенных. 

— х = 58 /17.

— х = 3,5.

— х = 12.

Ну и последнее. 

— х = 0.

— х = 6.

— х = 3.