Начнем с того, что определение геометрической прогрессии тесно связано с понятием последовательности. 

Последовательность — это упорядоченный набор чисел. Каждое число называется членом или элементом, который имеет свой индекс, определяющий его место в порядке следования.

Существуют разные последовательности чисел. В ОГЭ по математике можно встретить задачи на исследование арифметической (и о ней у нас есть отдельная статья) и геометрической прогрессий.

Геометрическая прогрессия — это разновидность числовой последовательности, в которой каждый новый член получается умножением предшествующего на фиксированное значение — знаменатель.

Закономерность описывается правилом: b_n = b_n-1 * q, 

где q — знаменатель, n — номер члена.

Примером может быть такой набор чисел: 1, 4, 16, 64, 256, так как каждый последующий элемент отличается от предыдущего в фиксированные 4 раза. Здесь b₁ = 1, b₂ = 4, b₃ = 16, b₄ = 64, b₅ = 256, знаменатель q = 4.

Свойства геометрической прогрессии:

1. Знаменатель геометрической прогрессии q равен частному от деления элемента на предыдущий элемент: q = b_n / b_n-1.
2. Квадрат элемента n — это всегда произведением предыдущего и последующего элемента: b_n² = (b_n-1 * b_n+1).

Исключение: первый и последний, которые не имеют соседнего с одной из сторон.

Есть некий набор чисел — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Что она представляет собой и почему мы выделяем ее среди прочих числовых наборов?

Для нее должно выполняться условие: наша последовательность устремится к бесконечному убыванию, если модуль знаменателя будет меньше единицы: |q| < 1.

Бесконечная геометрическая прогрессия, которая убывает, имеет особое определение суммы членов. В математике — это число, к которому неограниченно приближается сумма первых элементов при неограниченном возрастании n.

Сложно, правда? Но ученые помогли нам и вывели простую формулу при q ≠ 1:

S = b₁ / (1 - q).

Для классических последовательностей без этих бесконечностей и убываний тоже есть специальные формулы, которые пригодятся тебе для решения задач на их исследование.

Сумма членов геометрической прогрессии

Так как мы уже затронули вопрос суммы, покажем, что и для простых последовательностей нужно уметь ее вычислить. Скажем спасибо математикам, которые уже давно разобрались с тем, как это вычислить, а нам остается только запомнить.

Формула для суммы: 

S_n = b₁ * ((1 - qⁿ) / (1 - q)).

Напомним, что здесь тоже должно выполняться условие: q ≠ 1.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Также могут встретиться задачи, где попросят найти какой-то определенный член. 

И если от нас требуется найти bn, то мы можем смело использоваться формулу: 

b_n = b₁ * q^(n-1).

Что такое геометрическая прогрессия?

– последовательность чисел, в которой каждый новый член получается при делении предыдущего на фиксированное значение q.

– последовательность чисел, в которой каждый новый член получается при сложении предыдущего и фиксированного числа q.

– последовательность чисел, в которой каждый новый член получается при умножении предыдущего на фиксированный знаменатель q.

По какой формуле можно вычислить сумму членов бесконечной геометрической прогрессии?

– S = b₁ / (1 - q);

– S = b₁ / (1 + q);

– S_n = b₁ * ((1 - qⁿ) / (1 - q)).

Найди 12 элемент прогрессии: 4, 20, 100, 500.

– 244140624;

– 10000;

– 195213500.