Арифметическая прогрессия
Определение числовой последовательности
Для начала мы разберемся с тем, что такое последовательность в целом, чтобы понимать, с чем мы будем сражаться на контрольных и экзаменах.
Последовательность — это упорядоченный набор чисел. Каждое число в последовательности называется членом или элементом, который имеет свой индекс, определяющий его место в порядке следования.
Оказывается, простое перечисление первых же знакомых нам цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее — это тоже последовательность. В этом случае каждое число имеет свой индекс, например, a1 = 1, a2 = 2 до последнего аn, где n — это количество элементов в последовательности. Если наша последовательность заканчивается на цифре 6, то последним будет a6 = 6.
В задачах ОГЭ по математике последовательности представлены арифметическими и геометрическими прогрессиями. В этой статье мы поговорим о первых.
Определение и свойства арифметической прогрессии
Посмотрим, что представляет собой определение арифметической прогрессии и какие она имеет отличительные особенности.
Арифметическая прогрессия — это тип числовой последовательности, где разница между каждыми двумя последовательными членами — постоянное число. Такое число называется разностью арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии тесно связаны с принципами её построения.
1) Каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, увеличенному на разность.
an+1 = an + d.
2) Элемент n — это всегда среднее арифметическое значение от соседних членов.
an = (an-1 + an+1) / 2.
Исключение: первый (a1) и последний (an) элементы, которые не имеют соседнего с одной из сторон.
Пример: последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19 — арифметическая прогрессия, так как каждый последующий член отличается от предыдущего на фиксированное значение 4. Элементы: a1 = 3, a2 = 7, a3 = 11, a4 = 15, a5 = 19; разность d = 4.
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Задачи на изучение прогрессии могут быть самыми разными. Довольно часто требуется найти определенный член заданной последовательности. И вот математики вооружили нас специальной формулой, чтобы упростить нам жизнь.
Для нахождения любого an можно использовать следующую формулу:
an = a1 + (n - 1) * d.
Где:
- an — n-й элемент;
- a1 — первый;
- n — порядковый номер;
- d — разность арифметической прогрессии.
Формулы арифметической прогрессии
Но на сложном пути решения страшных задач можно столкнуться с первыми трудностями. Например, как понять, чему равна разность. А также можно встретить и другие задания.
Чтобы никакие каверзные вопросы не застали тебя врасплох, мы собрали самые важные формулы, связанные с арифметической прогрессией.
Разность арифметической прогрессии
Начнем с разности. На самом деле это совсем не сложно. Вспоминаем, что это значение показывает нам, как отличаются между собой рядом стоящие элементы.
Разность арифметической прогрессии d равна разнице между любыми двумя соседними элементами последовательности: d = an - an-1.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Также хитрые составители задач по математике могут спросить, какова сумма членов арифметической прогрессии. И кажется, что это сложно: столько чисел, неужели все придется складывать друг с другом поочередно. Жуть!
Но и тут ученые нам постелили спасительную солому. Сумму можно вычислить по формуле:
Sn = (a1 + an) * n / 2,
где a1 — первый, an — n-й, n — количество членов.
Номер элемента арифметической прогрессии
Какие еще подводные камни встречаются? А вот представь, дана последовательность и просят указать, какой номер будет у заданного числа. Как же его вычислить?
Так вот, если нужно найти номер члена, который соответствует заданному значению, понадобится формула:
n = (an - a1) / d + 1,
где a1 — первый, an — искомый, d — разность.
Теперь в твоём арсенале есть все нужные формулы и знания, так что ты легко сможешь справиться с задачами на эту тему.
Проверь себя
Что такое последовательность?
– набор чисел, расположенных в хаотичном порядке;
– набор чисел, расположенных в определенном порядке;
– порядок выполнения действий.
Что такое арифметическая прогрессия?
– твой прогресс в математике за первые 9 лет обучения;
– числовая последовательность без закономерностей;
– числовая последовательность с постоянной разностью между ближайшими членами.
Первый член арифметической прогрессии a1 равен 4, разность прогрессии d равна 2, номер последнего члена n равен 20. Чему равна сумма прогрессии Sn?
– 460;
– 400;
– 20.