Для начала мы разберемся с тем, что такое последовательность в целом, чтобы понимать, с чем мы будем сражаться на контрольных и экзаменах.

Последовательность — это упорядоченный набор чисел. Каждое число в последовательности называется членом или элементом, который имеет свой индекс, определяющий его место в порядке следования.

Оказывается, простое перечисление первых же знакомых нам цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее — это тоже последовательность. В этом случае каждое число имеет свой индекс, например, a₁ = 1, a₂ = 2 до последнего аn, где n — это количество элементов в последовательности. Если наша последовательность заканчивается на цифре 6, то последним будет a₆ = 6.

В задачах ОГЭ по математике последовательности представлены арифметическими и геометрическими прогрессиями. В этой статье мы поговорим о первых.

Посмотрим, что представляет собой определение арифметической прогрессии и какие она имеет отличительные особенности. 

Арифметическая прогрессия — это тип числовой последовательности, где разница между каждыми двумя последовательными членами — постоянное число. Такое число называется разностью арифметической прогрессии. 

Свойства арифметической прогрессии тесно связаны с принципами её построения.

1) Каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, увеличенному на разность.

a_n+1 = a_n + d.

2) Элемент n — это всегда среднее арифметическое значение от соседних членов. 

a_n = (a_n-1 + a_n+1) / 2.

Исключение: первый (a₁) и последний (a_n) элементы, которые не имеют соседнего с одной из сторон.

Пример: последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19 — арифметическая прогрессия, так как каждый последующий член отличается от предыдущего на фиксированное значение 4. Элементы: a₁ = 3, a₂ = 7, a₃ = 11, a₄ = 15, a₅ = 19; разность d = 4.

Задачи на изучение прогрессии могут быть самыми разными. Довольно часто требуется найти определенный член заданной последовательности. И вот математики вооружили нас специальной формулой, чтобы упростить нам жизнь. 

Для нахождения любого a_n можно использовать следующую формулу:

a_n = a₁ + (n - 1) * d.

Где:

- a_n — n-й элемент;

- a₁ — первый;

- n — порядковый номер;

- d — разность арифметической прогрессии.

Но на сложном пути решения страшных задач можно столкнуться с первыми трудностями. Например, как понять, чему равна разность. А также можно встретить и другие задания. 

Чтобы никакие каверзные вопросы не застали тебя врасплох, мы собрали самые важные формулы, связанные с арифметической прогрессией.

Разность арифметической прогрессии

Начнем с разности. На самом деле это совсем не сложно. Вспоминаем, что это значение показывает нам, как отличаются между собой рядом стоящие элементы. 

Разность арифметической прогрессии d равна разнице между любыми двумя соседними элементами последовательности: d = a_n - a_n-1.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Также хитрые составители задач по математике могут спросить, какова сумма членов арифметической прогрессии. И кажется, что это сложно: столько чисел, неужели все придется складывать друг с другом поочередно. Жуть!

Но и тут ученые нам постелили спасительную солому. Сумму можно вычислить по формуле: 

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2,

где a₁ — первый, a_n — n-й, n — количество членов.

Номер элемента арифметической прогрессии

Какие еще подводные камни встречаются? А вот представь, дана последовательность и просят указать, какой номер будет у заданного числа. Как же его вычислить?

Так вот, если нужно найти номер члена, который соответствует заданному значению, понадобится формула: 

n = (a_n - a₁) / d + 1,

где a₁ — первый, a_n — искомый, d — разность.

Теперь в твоём арсенале есть все нужные формулы и знания, так что ты легко сможешь справиться с задачами на эту тему.

Что такое последовательность?

– набор чисел, расположенных в хаотичном порядке;

– набор чисел, расположенных в определенном порядке;

– порядок выполнения действий.

Что такое арифметическая прогрессия?

– твой прогресс в математике за первые 9 лет обучения;

– числовая последовательность без закономерностей;

– числовая последовательность с постоянной разностью между ближайшими членами.

Первый член арифметической прогрессии a₁ равен 4, разность прогрессии d равна 2, номер последнего члена n равен 20. Чему равна сумма прогрессии S_n?

– 460;

– 400;

– 20.