Параллельные прямые

cover
10078
- Ну что, как твоя подготовка к ЕГЭ по математике? - Да мне на ее параллельно! Рассмотрим признаки параллельности прямых с подробным разбором теорем и примерами в нашей статье.
9 февраля 2024 г.
Содержание статьи

Определение параллельности прямых

Начнем с начала. Параллельными считаются те прямые, которые лежат на одной плоскости и не пересекутся ни в одной точке, независимо от их длины.

Свойства и признаки параллельных прямых

Всё? А вот и нет! Параллельность прямых придает им ряд интересных свойств:

  1. Они никогда не пересекаются. (это очевидно, но на всякий случай лишний раз стоит упомянуть)
  2. Если к одной из параллельных прямых проведен перпендикуляр, то он также перпендикулярен и второй прямой второй.
  3. Если две прямые параллельны третьей, то все они будут параллельны между собой.
  4. Прямые, лежащие на одной плоскости и параллельные соответственно двум другим пересекающимся между собой прямыми, также будут между собой пересекаться.
  5. Образованные между двумя параллельными прямыми и секущей углы будут равны.

Но каким образом мы можем доказать параллельность прямых? Запоминаем три полезных признака-теоремы.

Признак 1

Прямые будут параллельны, если при их пересечении секущей образовавшиеся накрест лежащие углы будут равны.


Перед нами две прямые - a и b. Представим, что их пересекла некая секущая (на то она, собственно, и секущая) в точках А и B. Таким образом накрест лежащие углы 1 и 2 будут равны. 

Если бы 1 и 2 были прямыми, то параллельность a и b доказывалась бы через перпендикулярность к ним обоим секущей (вспоминаем свойства).


Однако,в том случае, когда углы 1 и 2 не прямые, доказательство пойдет иначе. Проведем из середины к a перпендикуляр HO. На b отметим точку Н1 так, чтобы отрезок ВН1 был равен НА. От точки Н1 проведем отрезок до точки О и таким образом получим два треугольника - ОВН1 и ОНА.

Эти треугольники будут равны друг другу по I-ому признаку равенства (ВО = ОА, НА = ВН1, ∠1 =∠2). Следовательно, и ∠3 = ∠4, а ∠5=∠6. 


А теперь следим за руками! Если ∠3 = ∠4, то Н1 будет принадлежать лучу НО. Из равенства ∠5 и∠6 (где угол 5 -прямой, так как НО ⊥ a) будет следовать, что ОН1 ⊥ b, а значит, что НН1 - перпендикуляр как для a, так и для и b. Исходя из уже упомянутого нами свойства (перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых другой, служит перпендикуляром и для второй) можно сделать вывод, что a || b.

Признак 2

Прямые будут параллельны, если при пересечении их секущей соответственные углы будут равны.


Снова перед нами a и b. Сделаем вид, что мы только что не доказывали их параллельность и вообще в первый раз их видим. Этих двух таинственных незнакомок пересекает роковая с. Допустим, что образовавшиеся в результате этого пересечения соответственные углы 1 и 2 будут равны.


∠2 и ∠3 тоже будут равны, так как они вертикальные. А из этого можно сделать вывод о равенстве накрест лежащих углов 1 и 3. Согласно свойству параллельности, углы между параллельными прямыми и секущей будут равны. Таким образом, a || b.

Признак 3

Прямые будут параллельны, если при пересечении секущей, односторонние углы в сумме дадут 180 градусов.


Сюрприз-сюрприз, перед нам снова прямые a и b, которые снова пересекает c. Допустим, что два односторонних угла, 1 и 4, в сумме составят 180°.

Так как угол 4 и угол 3 - смежные, то их сумма тоже даст 180°, а в таком случае и ∠1=∠3. Из уже изученного нами свойства (накрест лежащие углы между секущей и параллельными прямыми равны) следует, что a || b.

Проверь себя

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она...?

  1. Пересекает вторую под углом 45 градусов.
  2. Перпендикулярна и второй. 
  3. Параллельна второй.


На картинке a и b пересекаются с с. Какие углы должны быть между собой равны, чтобы могли доказать, что a || b?



  1. 1 и 8, 2 и 5;
  2. 3 и 6, 7 и 4;
  3. 3 и 8; 4 и 5;




Если на картинке из предыдущего вопроса a || b, а ∠1 = 30°, то чему будет равен ∠7?


  1. 30°
  2. 60°
  3. 150°
Admin1