Вспомним что такое окружность

Окружность – это геометрическое место точек, расположенных на одном расстоянии от данной точки, называемой центром окружности

Расстояние от центра окружности до каждой точки называется радиусом окружности

Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с точкой, лежащей на окружности

Хорда - отрезок, который соединяет любые две точки, лежащие на окружности

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности, проходящий через центр окружности

Определите какие отрезки являются радиусом, диаметром и хордой

Радиус: OA, OM, OC, OX, OE, ON

Диаметр: NC, XE

Хорда: ZB, KD, YF, XE, NC

Какой можно сделать вывод?

Диаметр также является хордой, но обратное неверно

Все точки плоскости не принадлежащие окружности разбиваются ей на два вида – внутренние и внешние

Какие точки являются внутренними, а какие внешними?

Внутренние: A, B, D, O, P, N

Внешние: C, E, K, F, M, T

Сформулируем определения

Внутренние точки – точки, для которых расстояние до центра окружности меньше радиуса этой окружности

Внешние точки – точки, для которых расстояние до центра окружности больше радиуса этой окружности



1. Диаметр, проведенный через середину хорды, перпендикулярен этой хорде

Обратно: диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам

Рис 1. Дано: окружность с центром в точке O, BD - диаметр, AC - хорда, AX = XC

Доказать: BD ⊥ AC

Доказательство: 1) Соединим центр окружности с концами хорды AB, отрезки AO и CO будут являться радиусами окружности ⇒ AO = CO ⇒ треугольник AOC - равнобедренный 

2) в треугольнике AOC: OX - медиана ⇒ OX - высота ⇒ OX ⊥ AC ⇒ BD ⊥ AC



рис 2. Дано: BE - диаметр, AD - хорда, BE ⊥ AD

Доказать: что диаметр BE делит хорду пополам

Доказательство: рассмотрим диаметр CF, проходящий через точку K, которая является серединой хорды. По доказанному выше можно сказать, что CF⊥ AD. Тогда диаметры CF и BE совпадают, поэтому диаметр BE делит хорду пополам



2. Каждая точка, из которой диаметр виден под прямым углом, лежит на этой окружности

Обратно: из каждой точки окружности любой диаметр, не проходящий через эту точку, виден под прямым углом

Дано: окружность с центром в точке O, AC - диаметр

Доказать: что точка B лежит на окружности

Доказательство: если для точки B угол ABC прямой, то в прямоугольном треугольнике ABC, то медиана BO равна половине гипотенузы BO = AO = OC. Так как гипотенуза является радиусом для окружности, то точка B лежит на ней



Дано: точка B лежит на окружности с центром в точке O, AC - диаметр

Доказать: что угол ABC - прямой

Доказательство: точка O является серединой отрезка AC. В треугольнике ABC медиана BO равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому угол ABC - прямой

Доказанное утверждение позволяет определить еще одно геометрическое место точек: множество всех точек, из которых данный отрезок AC виден под прямым углом, есть окружность с диаметром AC (за исключением точек A и C)