Как решать квадратные уравнения?

Квадратное уравнение – что это?
Для начала давай вспомним, что это за уравнения такие, и как они выглядят. А то начнешь применять все свои знания, а окажется, что не того противника назвал квадратным! Но в целом тут запутаться почти нереально, потому что истина кроется в самом названии.
Квадратные уравнения — это математические выражения, где есть переменная во второй степени.
Вот как оно выглядит: ax2 + bx + c = 0.
Здесь коэффициенты a, b, и c — это действительные числа. Но всегда должно выполняться условие, что a ≠ 0. Коэффициент а еще называют старшим, потому что он сопровождает х высшей степени.
А х – это корень, неизвестное число, спрятанное в этом страшном выражении.
В общем, как ты уже, наверное, понял, наша задача найти это загадочное число х.
И как же мы это будем делать? Сейчас узнаешь. Надеваем костюм Даши Путешественницы и поможем самим себе не заблудиться в математических лабиринтах.
Но прежде, чем приступить к поискам, давай посмотрим, квадратные уравнения каких видов могут нам встретиться в задачах.
Полные и неполные квадратные уравнения
Квадратные уравнения бывают двух типов: полные и неполные. Тут тоже все просто и понятно из названий.
Полное квадратное уравнение имеет все три части, то есть все его коэффициенты не равны 0:
ax2 + bx + c = 0.
А неполное может потерять какую-то часть.
Например, неполным будет считаться уравнение вида: ax2 + c = 0, то есть коэффициент b = 0.
В основном, разные способы решения нужны для полных. Но в этой статье мы разберемся и с тем, что делать с неполными, если нам нужно найти их корни.
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
Теперь давай разберемся с терминами «приведенные» и «неприведенные». Тут все немного сложнее, потому что по названию мы не можем понять, что происходит с нашими уравнениями. Куда их привели и зачем? Сейчас разберемся.
Если у нас есть квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициент a может быть любым числом, кроме единицы, то это неприведенное уравнение.
А вот для случая, когда коэффициент а = 1, есть отдельный вид: приведенное уравнение.
Оно записывается так x2 + bx + c = 0.
Для приведенных вариантов есть особые упрощенные формулы.
Решение неполных квадратных уравнений
Начнем с простого. Чтобы решить, например, ax2 + c = 0, можно воспользоваться следующими шагами:
1. Выразим x2. Так как ax2 + c = 0, то мы должны избавиться от c на левой стороне. Для этого переносим c на другую сторону, и получаем ax2 = -c.
2. Разделим обе стороны на a. Это поможет нам избавиться от коэффициента перед x2. Теперь у нас есть x2 = -c/a.
3. Дальнейшее решение зависит от того, положительным или отрицательным является число (-c/a).
- Если -c/a < 0, то это уравнение не имеет решений.
- Если -c/a > 0, то мы имеем два решения x = ± √(-c/a).
- Если -с/a = 0, то и х = 0.
Решение квадратных уравнений через дискриминант
А теперь перейдем к более сложным вариантам и узнаем, как это решать с помощью дискриминанта.
Дискриминант – это число, которое помогает нам понять, сколько может быть корней. Дискриминант равен D = b2 - 4ac.
- Если D > 0, то есть два разных корня.
- Если D = 0, то есть один корень.
- Если D < 0, то уравнение не имеет настоящих корней.
Если у нас есть выражение ax2 + bx + c = 0, мы можем найти его корни, используя формулу: x = (-b ± √D) / (2a).
Теорема Виета
Решение квадратных уравнений через дискриминант — не единственный вариант. Господин Виет разработал другую схему решения, о которой подробно мы рассказывали в статье о его теореме.
Теорема Виета — это интересный способ найти сумму и произведение корней. Для уравнения ax2 + bx + c = 0, корни будут x1 и x2.
Тогда для неприведенных будет действовать правило:
x1 + x2 = -b/a и x1 * x2 = c/a.
А для приведенных это правило упрощается: x1 + x2 = -b и x1 * x2 = c.
Формула корней для четных вторых коэффициентов
Если у нас есть задача с выражением ax2 + bx + c = 0, в котором второй коэффициент b — это четное число, то мы снова возвращаемся к дискриминанту, но имеем в своем арсенале упрощенный способ решения.
В этом случае сам дискриминант вычисляется по формуле: D = (b/2)2 - 2ac, а формула корней квадратного уравнения будет такой: x1,2 = ((b/2) ± √D) / a .
Теперь ты знаешь приемы, как решать квадратные уравнения. Помни, чем больше ты практикуешься, тем легче будет на контрольных и экзаменах. Попробуй все методы и реши, какой больше подходит для тебя.
Проверь себя
Что такое квадратное уравнение?
– формула вычисления площади квадрата;
– выражение с переменной во второй степени;
– что-то на умном.
Как выглядит формула дискриминанта для общего случая:
– D = b2 - 4ac;
– D = b2 + 4ac;
– D = √(b2 - 4ac).
В каком случае у квадратного уравнения имеется только один корень?
– если D > 0;
– если D < 0
– если D = 0.