Для начала давай вспомним, что это за уравнения такие, и как они выглядят. А то начнешь применять все свои знания, а окажется, что не того противника назвал квадратным! Но в целом тут запутаться почти нереально, потому что истина кроется в самом названии. 

Квадратные уравнения — это математические выражения, где есть переменная во второй степени. 

Вот как оно выглядит: ax2 + bx + c = 0. 

Здесь коэффициенты a, b, и c — это действительные числа. Но всегда должно выполняться условие, что a ≠ 0. Коэффициент а еще называют старшим, потому что он сопровождает х высшей степени.

А х – это корень, неизвестное число, спрятанное в этом страшном выражении.

В общем, как ты уже, наверное, понял, наша задача найти это загадочное число х. 

И как же мы это будем делать? Сейчас узнаешь. Надеваем костюм Даши Путешественницы и поможем самим себе не заблудиться в математических лабиринтах.

Но прежде, чем приступить к поискам, давай посмотрим, квадратные уравнения каких видов могут нам встретиться в задачах.

Квадратные уравнения бывают двух типов: полные и неполные. Тут тоже все просто и понятно из названий.

Полное квадратное уравнение имеет все три части, то есть все его коэффициенты не равны 0:

ax² + bx + c = 0.

А неполное может потерять какую-то часть.

Например, неполным будет считаться уравнение вида: ax² + c = 0, то есть коэффициент b = 0. 

В основном, разные способы решения нужны для полных. Но в этой статье мы разберемся и с тем, что делать с неполными, если нам нужно найти их корни.

Теперь давай разберемся с терминами «приведенные» и «неприведенные». Тут все немного сложнее, потому что по названию мы не можем понять, что происходит с нашими уравнениями. Куда их привели и зачем? Сейчас разберемся.

Если у нас есть квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициент a может быть любым числом, кроме единицы, то это неприведенное уравнение. 

А вот для случая, когда коэффициент а = 1, есть отдельный вид: приведенное уравнение. 

Оно записывается так x² + bx + c = 0.

Для приведенных вариантов есть особые упрощенные формулы.

Начнем с простого. Чтобы решить, например, ax² + c = 0, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Выразим x². Так как ax² + c = 0, то мы должны избавиться от c на левой стороне. Для этого переносим c на другую сторону, и получаем ax² = -c.

2. Разделим обе стороны на a. Это поможет нам избавиться от коэффициента перед x². Теперь у нас есть x² = -c/a.

3. Дальнейшее решение зависит от того, положительным или отрицательным является число (-c/a). 

1. Если -c/a < 0, то это уравнение не имеет решений.
2. Если -c/a > 0, то мы имеем два решения x = ± √(-c/a).
3. Если -с/a = 0, то и х = 0.

А теперь перейдем к более сложным вариантам и узнаем, как это решать с помощью дискриминанта. 

Дискриминант – это число, которое помогает нам понять, сколько может быть корней. Дискриминант равен D = b² - 4ac.

1. Если D > 0, то есть два разных корня.
2. Если D = 0, то есть один корень.
3. Если D < 0, то уравнение не имеет настоящих корней.

Если у нас есть выражение ax² + bx + c = 0, мы можем найти его корни, используя формулу: x = (-b ± √D) / (2a).

Решение квадратных уравнений через дискриминант — не единственный вариант. Господин Виет разработал другую схему решения, о которой подробно мы рассказывали в статье о его теореме.

Теорема Виета — это интересный способ найти сумму и произведение корней. Для уравнения ax² + bx + c = 0, корни будут x₁ и x₂. 

Тогда для неприведенных будет действовать правило:

x₁ + x₂ = -b/a и x₁ * x₂ = c/a.

А для приведенных это правило упрощается: x₁ + x₂ = -b и x₁ * x₂ = c.

Если у нас есть задача с выражением ax² + bx + c = 0, в котором второй коэффициент b — это четное число, то мы снова возвращаемся к дискриминанту, но имеем в своем арсенале упрощенный способ решения.

В этом случае сам дискриминант вычисляется по формуле: D = (b/2)² - 2ac, а формула корней квадратного уравнения будет такой: x_1,2 = ((b/2) ± √D) / a .

Теперь ты знаешь приемы, как решать квадратные уравнения. Помни, чем больше ты практикуешься, тем легче будет на контрольных и экзаменах. Попробуй все методы и реши, какой больше подходит для тебя.

Что такое квадратное уравнение?

– формула вычисления площади квадрата;

– выражение с переменной во второй степени;

– что-то на умном.

Как выглядит формула дискриминанта для общего случая:

– D = b² - 4ac;

– D = b² + 4ac;

– D = √(b² - 4ac).

В каком случае у квадратного уравнения имеется только один корень?

– если D > 0;

– если D < 0

– если D = 0.