Системы линейных уравнений и способы их решения
Определение системы уравнений с двумя переменными
Задача. Найти такие числа x и y сумма которых равна 5
Составим уравнение для решения данной задачи: x + y = 5 Данная задача имеет
бесконечно много решений.
Для того чтобы задача имела один ответ необходимо наложить еще одно условие,
например, что разность этих чисел равна -2, тогда можно составить еще одно уравнение:
x - y = -2
Необходимо найти такие числа, которые будут удовлетворять одновременно двум выше
полученным уравнениям. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений,
которая имеет вид (система уравнений для данной задачи):
Определение решения системы уравнений с двумя переменными
Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара
значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
Рассмотрим полученную ранее систему:
Решением этой системы уравнений является пара чисел (1,5; 3,5), так как 1,5 + 3,5 = 5 и
1,5 - 3,5 = -2, то есть полученное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.
Графический способ решения систем уравнений
Необходимо построить графики для каждого уравнения системы и найти координаты их
точек пересечения.
Составим систему равносильных уравнений и построим их графики.
Алгоритм решения систем уравнений (начальный уровень)
1 Решаем одно из уравнений, в котором переменная x или y стоит без коэффициента,
относительно этой переменной
2 Подставляем найденное выражение в другое уравнение системы
3 Решаем уравнение с одной переменной
4 Подставить значение, найденное на 3 шаге в выражение, полученное в 1 шаге
Способ подстановки (начальный уровень)
Графический способ, который мы рассмотрели ранее, позволяет находить нам лишь
приближенные значения. Иногда может быть такое, что мы получим ответ с
погрешностью или вообще не сможем построить точку пересечения. Для того чтобы
решать такие системы существует еще один способ решения, который называется
способом подстановки
Алгоритм решения систем уравнений (продвинутый уровень)
1 Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в каждом уравнении системы
2 Выберем уравнение, из которого будем выражать переменную х или у , и выразим
ее
3 Подставим ключевую подстановку в другое уравнение и решим его
4 Найденное в 3 пункте значение подставим в ключевую подстановку
Алгоритм решения систем уравнения методом сложения
1 Складываем правые и левые части уравнений, чтобы исключить из рассмотрения
переменную x или y. Если в системе нет переменных с противоположными
коэффициентами, то их можно получить, умножив обе части уравнения на некоторое
число.
2 Решить уравнение, полученное после сложения двух уравнений, относительно
переменной, которая осталась в рассмотрении
3.Подставить найденное значение в любое из первоначальных уравнений и найти
переменную, которую исключали из рассмотрения