Вписанная окружность
Определение вписанной окружности
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон этого
многоугольника
Определить, где изображена вписанная окружность
Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным около этой окружности
многоугольником.
Теорема о вписанной в треугольник окружности
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность
Дано: ΔABC
Доказать: в ΔABC можно вписать окружность
Доказательство:
1) проведем биссектрисы AO , BO ,CO
2) точка O является точкой пересечения биссектрис
⇒ потеореме обиссектрисе углаOE=OF=OP ,гдеOE⊥ AB ,OF⊥BC ,OD⊥ AC
3) окружность с центром в точке O и радиусом OE проходит через точки E ,F , D и касается
сторон треугольника в этих точках ⇒ окружность с центром в точке O вписана в треугольник ABC
Таким образом в треугольник всегда можно вписать окружность т.к. точка пересечения биссектрис
существует в любом треугольнике
Ч.т.д.
Единственность вписанной в треугольник окружности
Сколько окружностей можно вписать в треугольник?
Так как существует только одна точка, равноудаленная от всех сторон, то можно вписать только
одну окружность
Вывод формулы площади треугольника
Описанный четырехугольник
во всякий ли четырехугольник можно вписать окружность?
Нет!
Вывод условия для описанного четырехугольника
рассмотрим четырехугольник ABCD. Точки E ,F , K , P являются точками касания, поэтому
AE=AP=a , BE=BF=b ,CF=CK=c , DK=DP=d
AB+CD=a+b+c+d
BC+AD=a+b+c+d
Таким образом, можно сделать вывод, что в любом описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны
И обратно, если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равно, то в него
можно вписать окружность
