Вспомним, что такое серединный перпендикуляр к отрезку.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через середину данного отрезка

Докажем, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка

Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка лежит на серединном перпендикуляре к нему 

Дано: AB - отрезок, m-серединный перпендикуляр к отрезку AB, C ∈ m, AD = DB

Доказать: AC = CB,D ∈ m

Доказательство:

Докажем первую часть доказательства

           Соединим концы отрезка с точкой C

           Рассмотрим треугольники AHC и BHC:CH - общий катет, AH = HB ⇒ ΔAHC = ΔBHC по двум катетам ⇒ AC = CB

Таким образом доказана первая часть доказательства

Докажем вторую часть доказательства

Рассмотрим два случая: 1) D ∈ AB: т.к. AD = DB и AH = HB, то точки D и H совпадают ⇒ D ∈ m. 2) D ∉ m: ΔADB - равнобедренный ⇒ DH - медиана и высота ⇒ DH ⊥ AB ⇒ D ∈ m.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка , является серединный перпендикуляр к этому отрезку

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке