Вынесение общего множителя за скобки
При решении уравнений и неравенств бывает удобно рассматривать многочлен как произведение нескольких многочленов, среди которых могут быть и одночлены. Такое представление многочлена называется разложением многочлена на множители
Рассмотрим многочлен 
Таким образом, с помощью распределительного свойства умножения мы вынесли за скобку общий множитель 
. Исходный многочлен был разложен на произведение одночлена и многочлена 
, такой способ разложения называют вынесением общего множителя за скобку
Примеры
Пример 1.
Рассмотрим многочлен 
За скобки можно вынести разные одночлены, например, 
Обычно за скобки выносят такой одночлен, чтобы после его вынесения в оставшемся одночлене нельзя было еще что-то внести. В исходном одночлене модули коэффициентов равны 30, 60, 75, их наибольший общий делитель равен 15. Каждый член многочлена содержит переменные 
и 
. Наибольшая степень переменной , которую можно вынести за скобки - третья, а степень переменной 
первая. Значит одночлен, который выносится за скобку будет равен 
Чтобы проверить правильность вынесения общего множителя за скобки, можно раскрыть скобки, используя распределительное свойство умножения
Пример 2.
Разложим на множители выражение 
Сначала вынесем знак минус за скобку, тогда получим 
. Рассмотрим полученную сумму, в ней каждое слагаемое содержит множитель 
. Вынесем этот множитель за скобку
Пример 3.
Упростим выражение 
В данной сумме слагаемые содержат противоположные множители 
и 
, они отличаются друг от друга знаком. В выражении вынесем -1 за скобку, тогда получим, что 
Пример 4.
Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки позволяет решать уравнения, которые сводятся к произведению многочленов равному нулю.
Решим уравнение 
Вынесем общий множитель 
за скобки
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть
или 
Решая каждое из уравнений, получаем, что 