Повторение. Числовые неравенства и их свойства
Числовые сравнения
Сравнивать мы можем любые числа и результат записать, используя для этого знаки =, <, >
а = b a < b a > b
Определение числовых неравенств
В зависимости от набора чисел мы использовали тот или иной способ сравнения, но удобно использовать единый способ, который можно применить ко всем числам.
Смысл способа: необходимо составить разность чисел и выяснить, является ли она положительным, отрицательным числом или нулем!
Определение: число а больше числа b, если разность (а-b) - положительное число; число а меньше числа b, если разность (а-b) - отрицательное число.
Если разность (а - b) равна 0, то а = b.
Графическое представление числовых неравенств
Если с - положительное число, то
Графическое представление числовых неравенств
Если с - отрицательное число, то
Свойства числовых неравенств
Теорема 1. Если a > b, b < a; если a < b, то b > a.
Если разность (a - b) - положительное число, то (b - a) - отрицательно число.
Теорема 2. Если a < b и b < c, то а < c.
Теорема 3. Если a < b и с - любое число, то а+с < b+c
Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Теорема 4. Если a < b и с - положительное число, то ас < bc. Если a < b и с - отрицательное число, то ac > bc
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Следствие. Если a и b - положительные числа и а<b, то 1/а > 1/b
Сложение числовых неравенств
Теорема 5. Если a<b и c<d, то а+с < b+d
Теорема справедлива и в случае почленного сложения более чем двух неравенств.
Вывод: если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Умножение числовых неравенств
Теорема 6. Если a < b и c < d, то а, b, с, d - положительные числа, то ас < bd.
Теорема справедлива и в случае почленного умножения более чем двух неравенств.
Вывод: если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.
Отмечу, что если среди чисел а, b, с, d имеются отрицательное, то неравенство ас<bd, может оказаться неверным.
Например, -1 < 2 и -3 < 1.
Следствие. Если числа a и b положительны и а<b, то a^n < b^n, где n - натуральное число.