Степенная функция с натуральным показателем
Определение степенной функции
Степенными называются функции, задаваемые формулами y = x, y = x2, y = x3 и так далее.
Все эти функции можно объединить в одну формулу вида y = xn. Меняя натуральный показатель n можно получить все эти формулы.
Выражение вида xn, где n - натуральное число имеет смысл для любого x. Поэтому область определения степенной функции с натуральным показателем есть множество всех чисел.
Свойства функции вида y=x²
1) При значении аргумента равного нулю значение функции также равно нулю
Проверить данное свойство достаточно легко, если x = 0, то y = 02 = 0.
Таким образом можно сделать вывод, что точка (0; 0) принадлежит графику, а значит он проходит через начало координат.
2) При любом значении аргумента, отличном от нуля, функция принимает положительное значение
Как мы уже знаем любое число, не равное нулю, при возведении в квадрат будет больше нуля. Значит, если x ≠ 0,то x2 > 0, следовательно, y = x2 > 0.
Отсюда можно сделать вывод, что все точки графика, за исключением точки (0; 0), находятся выше оси x
3) Любым противоположным значениям аргумента соответствует одно и тоже значение функции
Для любого значения x противоположным к нему будет являться (-x). Тогда x2 = (-x)2
Тогда становится очевидно, что точки имеющие противоположные абсциссы симметричны относительно оси y.
Пример построения графика функции y=x²
Учитывая все вышеуказанные свойства, что график проходит через начало координат и что противоположным аргументам соответствуют одинаковые значения функции, построим таблицу только для положительным значений x.
Пример построения графика функции y=x²
Отметим данные и симметричные относительно оси y точки.
Определение параболы
Соединим полученные точки плавной непрерывной прямой, очевидно, что кривая неограниченно будет стремиться к бесконечности
Данный график, который описывает функцию y = x2, называется параболой.
Свойства функции вида y = х³
При значении аргумента, равному нулю, значение функции также равно нулю. Проверить данное свойство достаточно легко, если x = 0, то y = 03 = 0
Таким образом можно сделать вывод, что точка (0; 0) принадлежит графику, а значит он проходит через начало координат.
1) При любом положительном значении аргумента, функция принимает положительное значение, а при любом отрицательном значении аргумента – отрицательное значение
Так как при возведении отрицательного числа в нечетную степень результат отрицательный, то если x < 0,то x3 < 0, но если x > 0,то x3 > 0
Отсюда следует, что все точки, имеющие положительную абсциссу, находятся выше оси x, а все точки с отрицательной абсциссой – ниже оси x
2) Любым противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции
Для любого значения x противоположным к нему будет (-x), тогда x3 = x3, а (-x)3 = -x3
Следовательно, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат
Пример построения графика функции y = х³
Учитывая все вышесказанные свойства, что график проходит через начало координат и что противоположным аргументам соответствуют противоположные значения функции, построим таблицу только для положительным значений x
Пример построения графика функции y = х³
Отметим данные и симметричные относительно начала координат точки
Определение кубической параболы
Соединим полученные точки плавной непрерывной прямой, очевидно, что кривая неограниченно будет стремиться к бесконечности
Данный график, который описывает функцию y = x3,называется кубической параболой