Степенными называются функции, задаваемые формулами y = x, y = x², y = x³ и так далее.

Все эти функции можно объединить в одну формулу вида y = xⁿ. Меняя натуральный показатель n можно получить все эти формулы.

Выражение вида xⁿ, где n - натуральное число имеет смысл для любого x. Поэтому область определения степенной функции с натуральным показателем есть множество всех чисел.

1)    При значении аргумента равного нулю значение функции также равно нулю

Проверить данное свойство достаточно легко, если x = 0, то y = 0² = 0.

Таким образом можно сделать вывод, что точка (0; 0) принадлежит графику, а значит он проходит через начало координат.

2)    При любом значении аргумента, отличном от нуля, функция принимает положительное значение

Как мы уже знаем любое число, не равное нулю, при возведении в квадрат будет больше нуля. Значит, если x ≠ 0,то x² > 0, следовательно, y = x² > 0.

Отсюда можно сделать вывод, что все точки графика, за исключением точки (0; 0), находятся выше оси x

3)    Любым противоположным значениям аргумента соответствует одно и тоже значение функции

Для любого значения x противоположным к нему будет являться (-x). Тогда x² = (-x)²

Тогда становится очевидно, что точки имеющие противоположные абсциссы симметричны относительно оси y.

Учитывая все вышеуказанные свойства, что график проходит через начало координат и что противоположным аргументам соответствуют одинаковые значения функции, построим таблицу только для положительным значений x.

Отметим данные и симметричные относительно оси y точки.

Соединим полученные точки плавной непрерывной прямой, очевидно, что кривая неограниченно будет стремиться к бесконечности

Данный график, который описывает функцию y = x², называется параболой.

При значении аргумента, равному нулю, значение функции также равно нулю. Проверить данное свойство достаточно легко, если x = 0, то y = 0³ = 0

Таким образом можно сделать вывод, что точка (0; 0) принадлежит графику, а значит он проходит через начало координат.

1)    При любом положительном значении аргумента, функция принимает положительное значение, а при любом отрицательном значении аргумента – отрицательное значение

Так как при возведении отрицательного числа в нечетную степень результат отрицательный, то если x < 0,то x³ < 0, но если x > 0,то x³ > 0

Отсюда следует, что все точки, имеющие положительную абсциссу, находятся выше оси x, а все точки с отрицательной абсциссой – ниже оси x

2)    Любым противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции

Для любого значения x противоположным к нему будет (-x), тогда x³ = x³, а (-x)³ = -x³

Следовательно, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат

Учитывая все вышесказанные свойства, что график проходит через начало координат и что противоположным аргументам соответствуют противоположные значения функции, построим таблицу только для положительным значений x

Отметим данные и симметричные относительно начала координат точки

Соединим полученные точки плавной непрерывной прямой, очевидно, что кривая неограниченно будет стремиться к бесконечности