Итак, вспоминаем, что функция y = f(x) — зависимость одной величины от другой, с помощью которой мы можем описывать различные процессы в природе и жизни. Мы можем представить y = f(x) изображением на оси координат и наблюдать за ее изменениями на этом графике. 

И теперь давай представим, что у нас есть координатная ось с интервалом, на котором заданы f(x) и F(x). 

Первообразная функции — это такая F(x), производная которой равна значению заданной f(x): F'(x) = f(x).

Иными словами, если у нас есть f(x), и существует F(x) на этом же интервале, производная которой в каждой точке заданного интервала равна значению f(x), то F(x) - первообразная функции f(x).

Если две функции F(x) и G(x) на одном и том же заданном интервале отличаются на постоянную величину С, то они являются первообразными одной и той же f(x).

Существует множество стандартных y = f(x), и их производные уже просчитаны учеными и давно известны. Чтобы тебе было проще решать задачи на эту тему, мы подготовили для тебя таблицу. 

А вот чтобы найти первообразную, которая еще неизвестна, мы используем интегрирование. Об этом у нас есть отдельная статья.

Напоминаем, что совокупность всех первообразных f(x) — это неопределенный интеграл. То есть тот, у которого не задан интервал интегрирования. 

Таким образом, чтобы найти первообразную, нам нужно проинтегрировать нашу f(x) по ее аргументу.

∫f(x)dx = F(x) + C

Пример:

Нам нужно F(x) функции f(x) = 2x.

Для этого мы интегрируем по переменной x и получаем F(x) = x2 + C, где C - постоянная интеграции.

Формула Ньютона-Лейбница — ключевой инструмент в вычислении определенных интегралов, то есть площади фигуры под графиком f(x) в пределах интегрирования от а до b. 

И в этом случае нам поможет первообразная. Ученые вывели формулу, которая утверждает, что определенный интеграл f(x) на промежутке от a до b равен разности первообразных между точками a и b: ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a).

То есть, если известна первообразная, мы можем на лайте найти площадь фигуры под графиком. Для этого просто нужно вычислить значение F(x) в точках a и b А затем из значения в верхней точке предела вычесть значение в нижней точке.

S = F(b) − F(a).

Что такое первообразная?

– это изначальный вид функции f(x);

– это такая функция F(x), производная которой равна значению заданной f(x);

– это все первые изученные функции в 7 классе!

Как можно найти первообразную?

– проинтегрировать f(x) без заданных пределов: ∫f(x)dx = F(x) + C;

– проинтегрировать f(x) в заданных пределах: ∫[a, b] f(x)dx = F(x) + C;

– никак, они давно все найдены.

Как выглядит формула Ньютона-Лейбница?

– ∫f(x) dx = F(b) - F(a);

– ∫[a, b] f(x) dx = F(b) + F(a);

– ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a).