Интеграл
Неопределенный интеграл и его свойства
Без преувеличения можем сказать, что эта одна их самых сложных тем школьной программы по математике. Не просто так ее относят к высшей математике и проходят только в 11 классе (или в 10-м, если класс профильный), когда уже достаточно знаний, чтобы понять, что здесь к чему. Попробуем разобраться вместе.
Итак, чтобы научиться интегрировать, нам нужно вспомнить определение функции. Это зависимость одной величины от другой, обозначается как y=f(x). И эту зависимость представляют графическим изображением на оси координат — графиком. И по нему мы можем видеть, как изменяется f(x).
Геометрический смысл интеграла тесно связано с графиком функции — говоря простым языком, интеграл позволяет нам найти площадь криволинейной трапеции под графиком y = f(x).
Если говорить более сложно и научно, то интеграл ∫ — это бесконечная сумма произведений значений заданной функции и приращений аргумента (дифференциалов).
То есть эта операция интегрирования дает нам возможность понять, как изменяется параметр во времени.
Поиск неопределенного интеграла от f(x) — это операция, которая позволяет восстановить f(x) по ее производным. Понятие тесно связано с первообразной, так как ∫f(x)dx является совокупностью первообразных.
Запомни: f(x) — это подынтегральная функция, x — переменная интегрирования.
О первообразных у нас тоже есть отдельная статья, и там мы подробно рассказываем о ее свойствах и назначении. Но только вспомним, что первообразной для f(x) будет такая F(x), при которой будет верно равенство F’(x) = f(x). То есть производная от первообразной равна самой функции.
Свойства неопределенного интеграла
Выделим свойства:
1) Исходя из определения, мы можем понять, что производная и дифференциал интеграла равны подынтегральной функции:
(∫f(x)dx)’ = f(x);
d∫f(x)dx = f(x).
2) Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов каждой их них по отдельности.
∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx.
3) Неопределенный интеграл от дифференциала равен сумме функции и произвольной постоянной.
∫df(x)dx = f(x) + С.
4) Если в подынтегральном выражении есть константа, то ее можно вынести за знак интеграла: n = const.
∫nf(x)dx = n ∫f(x)dx.
Определённый интеграл и его свойства
Теперь перейдем к определенному и вспомним тот самый график криволинейной трапеции. Да, именно определенный интеграл позволяет нам найти площадь между графиком y = f(x) и осью X в заданном интервале [a, b].
Обозначается как ∫[a, b]f(x)dx и показывает, как площадь меняется в пределах от a до b, в случае если f(x) на этом участке непрерывная.
Запомни: a и b — это пределы интегрирования.
Формула Ньютона-Лейбница
Самая важная формула, связанная с интегрированием, называется формулой Ньютона-Лейбница. Господа ученые нашли связь между определенным интегралом и определением первообразной.
Она утверждает, что определенный интеграл f(x), непрерывной на интервале [a, b] равен разности первообразных в точках b и a:
∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a).
Свойства определенного интеграла
Здесь мы тоже можем выделить много важных свойств, но сегодня поговорим об основных, которые могут пригодиться тебе при решении задач на эту тему.
1. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов каждой из них по отдельности.
∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx.
2. Интеграл с совпадающими пределами с переменной интегрирования равной а, равен нулю.
∫[a, a] f(x)dx = 0.
3. Зависимость от интервала: Если мы меняем местами границы интегрирования, значение интеграла меняет знак.
∫[a, b] f(x)dx = - ∫[b, a] f(x)dx.
4. Если в подынтегральном выражении есть константа, то ее можно вынести за знак интеграла: n = const.
∫[a, b]nf(x)dx = n ∫[a, b]f(x)dx.
5. Если мы интегрируем f(x) на промежутке Х, где a ∈ X, b ∈ X, c ∈ X, то будет верным выражение:
∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, с]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx.
Это простой инструмент, который позволяет нам решать множество сложных задач, связанных с площадями под кривыми, изменениями величин и другим. Интегрирование применяется в разных сферах: в физике и информатике, конечно, в экономике и биологии, и многих других.
Проверь себя
Что такое интеграл?
– это суммирование умножений значений функции и приращений;
– это разница между значением функции в определенных точках;
– это очередная загадка вселенной.
Как связаны первообразная и неопределенный интеграл?
– никак;
– неопределенный интеграл — это разность первообразных;
– неопределенный интеграл — это совокупность первообразных.
Что помогает найти определенный интеграл?
– площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью X на интервале [a, b];
– смысл жизни;
– решение функции в заданном интервале [a, b].