Рациональные выражения
Целые выражения
Целыми выражениями называют выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.
Назовите примеры целых выражений
Дробные выражения
Дробным выражением называют выражение вида ab, где a и b это числовые выражения или выражения, которые содержат переменные. Выражение a называется числителем числителем дроби, а выражение b - ее знаменателем.
- Примеры числовых дробей:
- Примеры дробных выражений:
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной (алгебраической) дробью.
Условие, при котором дробь не имеет смысла
Найдем значение дроби 
Если окажется, что знаменатель дроби равен нулю, то такая дробь не имеет смысла.
Рассмотрим дробь 
. Знаменатель данной дроби равен нулю, но на нуль делить нельзя, поэтому данная дробь не имеет смысла.
Допустимые значения переменных
Дробное выражение имеет смысл, тогда и только тогда, когда знаменатель рациональной дроби отличен от нуля
Пример: выражение 
имеет смысл при 
, то есть если 
, так как при a=7 знаменатель обращается в нуль, а делить на нуль нельзя.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных
В разобранном примере числа, отличные от 7 называют допустимыми значениями переменной a, а множество всех чисел, отличных от 7, называют областью допустимых значений переменной в данном выражении
пример 1
Найдем допустимые значения переменной в дроби 
Данная дробь имеет смысл, только если знаменатель не равен нулю. Решим уравнение 
. Разложим левую часть уравнения на простые множители с помощью формул сокращенного умножения 
, значит 
. Таким образом, допустимыми значениями переменной для данной дроби являются все числа, отличные от -4 и 4.
пример 2
Найдем область допустимых значений переменной для функции 
Область определения данной функции составляют те значения x, при которых выполнено условие 
, откуда 
. Значит, область определения функции составляют все числа, кроме числа 11.
пример 3
Определим, при каких значениях x дробь 
равна нулю
Для того, чтобы значение дроби было равно нулю необходимо и достаточно, чтобы числитель этой дроби был равен нулю, а знаменатель не обращался в ноль.
Решим уравнение 
. Тогда числитель дроби равен нулю при x=-7 и x=1. Но знаменатель дроби обращается в нуль при x=1 и x=-1. Значит значение дроби равно нулю при x=-7.
Какие из выражений являются целыми, какие - дробными?
Решите уравнение 
Доказательство свойства числовых дробей
Докажем равенство 
, справедливое для обыкновенных дробей, при 
Пусть 
, тогда по определению частного 
. Умножив обе части этого равенства на c получим ac=(bn)c, применим сочетательное и переместительное свойства умножения ac=(bc)n. По определению частного получим 
. Так как и , то
Справедливость данного равенства была доказана для числовых значений a, b и c. Если вместо переменных a, b и c подставить произвольные многочлены, причем b и c не равны нулю, то справедливость свойства сохраниться
Основное свойство дроби. Тождество
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же выражение, не равное нулю, то получится равная ей дробь
Основное свойство дроби позволяет привести дробь к новому знаменателю
Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных
Пример приведения дроби к новому знаменателю
Приведем дробь 
к знаменателю 
Заметим, что 
. 
называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю исходной дроби. Умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель получим дробь 
Правило изменения знака дроби
Если изменить знак числителя (или знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному
Пример: приведем дробь 
к знаменателю 4b-3a
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на (-1): 
. Данную дробь можно изменить, поставив знак минус перед дробью и заменив знак в числителе, тогда получим дробь 
Сокращение дробей
Чтобы сократить дробь, содержащую выражения, необходимо разложить числитель и знаменатель дроби на множители, если это возможно. Затем сократить числитель и знаменатель на общий множитель, не равный нулю.
Пример: сократим дробь 
. Данное равенство верно для любых a, при которых 
пример сокращения дробей:
Сократим дробь 
Вынесем в числителе и знаменателе общие множители: 
. Вынесем знак минус за скобку в числителе : 
. Сократим полученную дробь на 2b-a: 
Построение графиков
Построим график функции 
Область определения функции - множество чисел, кроме числа 8. Сократим первоначальную дробь: 
Графиком функции 
является прямая, а графиком первоначальной функции является та же прямая, но с выколотой точкой (8;-16)
