Сразу предупредим, в заданиях ЕГЭ по профильной математике есть вопросы, связанные с исследованием функций, и там таблица производных тебе о-очень пригодится! А еще, заглядывая вперед, скажем, что нужно будет знать правила дифференцирования, и о них мы тоже расскажем в этой статье. Так что подключаем внимание и впитываем знания. 

Начнем с определения, чтобы сразу стало понятно, с чем мы имеем дело. 

Производная функции — это особый математический инструмент, который позволяет нам понять, как быстро меняется значение функции в определенной точке при изменении ее входных данных.

Опять звучит сложно? Не переживай, сейчас разберемся на примере.

Представь, Дима решил готовиться к математике, и в первый месяц это давалось ему тяжело, он занимался максимум 30 минут и уставал. Но он изучил основы, и со второго месяца начал заниматься каждый день на 5 минут больше.

То есть в первый месяц никакого прогресса по времени не было (значение было константой), и скорость прироста была нулевой. В таблице (обязательно покажем её, но чуть позже) мы найдем, что производная константы равна 0.

f(x) = 30

f’(x) = 0

А вот со второго месяца Дима стал увеличивать время на подготовку на 5 минут каждый день, начиная с 30 минут.

f(x) = 30 + 5x

В той же таблице мы найдем, что производная от x будет равна 1. 

f’(x) = 0 + 5

f’(x) = 5

Итак, мы доказали, что время на подготовку Димы росло со скоростью 5 минут в день. В этом и есть суть производной. 

Таблица производных — это удобная схема, которая помогает нам понимать, как функции меняются.

Поговорим о правилах дифференцирования. Это набор формул и приемов, которые помогут нам находить производные легко и просто.

Примем, что f(x), g(x) — это функции, C — постоянное число (константа), и посмотрим, что придумали ученые, чтобы упростить нам жизнь:

1. Для константы: если у нас есть постоянное число C, то будет работать (с * f(x))’ = c * f’(x), то есть константу мы выносим за скобку.

2. Для суммы: (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g'(x).

3. Для разности: (f(x) - g(x))’ = f’(x) - g'(x).

4. Для произведения: (f(x) * g(x))’ = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).

5. Для частного: (f(x) / g(x))’ = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]².

Посмотрим, как это работает!

Рассмотрим несколько примеров. 

1.Предположим, у нас есть f(x) = (4 * х²), и мы хотим найти её f'(x).

Применим правило константы: f'(x) = 4 * (х²)’ = 4 * 2 * x^2-1 = 8x.

2.Предположим, у нас есть g(x) = 4/x, и мы хотим найти её g'(x).

Применим правило частного: g'(x) = [0 * x - 1*4] / x² = -4/x².

Мы изучили, что такое производная функции и как ее находить, используя дифференцирование. Эти знания могут пригодиться в разных областях: от физики до экономики.

Что такое производная функции?

1. Скорость изменения значения функции в конкретной точке.
2. Математическая загадка.
3. Максимальное значение функции на заданном участке.

Правило дифференцирования для произведения производных.

1. f’(x) + g'(x).
2. f’(x) - g'(x).
3. f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).

Какая производная соответствует функции f(x) = (х + х⁴)?

1. f’(x) = 0.
2. f’(x) = 1 + 4x³.
3. f’(x) = 2x⁴.