Сегодня будем говорить о треугольниках и прямых, ведь именно их связывает наша древнегреческая загадка — теорема Менелая. Великий математик долго проводил прямые, чтобы понять, есть ли закономерность в тех отрезках, на которые прямая делит стороны фигуры. Посмотрим, что из этого получилось.

Формулировка: Если три точки A’, B’ и C’ лежат на одной прямой, которая пересекает треугольник ABC, то произведение отношений длин отрезков, на которые прямая делит стороны, равно 1.

И как видишь, тут все просто. У нас есть ∆ ABC, на его сторонах находятся три точки, которые, кажется, решили собраться на одной прямой — такая у них вечеринка! И на помощь приходит наш герой – теорема Менелая! Она говорит нам, что если эти точки действительно решили встретиться на одной линии, то мы можем использовать волшебную формулу, чтобы вычислить длины отрезков.

Ты сможешь применить эти знания при решении некоторых задач по геометрии из раздела планиметрия 2-й части ЕГЭ по математике.

И теперь от обратного. Если правила работают в одну сторону, то и в другую будут работать тоже. Поэтому существует обратная теорема Менелая. 

Формулировка: Если у нас есть треугольник, на сторонах которого лежат точки A’, B’ и C’, и произведение отношений длин отрезков, на которые точки делят стороны, равно единице, значит, точки A’, B’ и C’ лежат на одной прямой.

Все просто, теперь, если тебе нужно доказать, что все точки лежат на одной прямой, ты сможешь легко это сделать, зная о данном принципе!

Чтобы лучше понять, как работает теорема Менелая, нужно проследить логику в ее доказательстве. Существуют разные методы доказательства теоремы Менелая, но мы рассмотрим самый популярный.

Через подобные треугольники

Итак, мы уже знаем, что подобные треугольники имеют одинаковые углы, их стороны имеют разные длины, но они пропорциональны. Мы можем использовать этот факт, чтобы показать, что отношения длин отрезков на разных сторонах связаны между собой.

Для примера рассмотрим ∆ ABC и лежащую на продолжении стороны AC точку D, через которую проходит линия, пересекающая стороны AB и BC. Пусть точка E - пересечение AB, точка F - пересечение BC. Построим линию из вершины A, которая будет параллельна DF и пересечет сторону BC в точке G: DF // AG.

У нас образовались подобные ∆ и мы воспользуемся их свойствами:

∆ EBF ~ ∆ ABG => AE/EB = GF/FB

∆ DCF ~ ∆ AGC => CD/DA = CF/GF

Теперь перемножаем равенства: AE/EB х CD/DA = GF/FB х CF/GF

GF сокращается и остается AE/EB х CD/DA = CF/FB, следовательно, мы получаем нашу формулу:

AE/EB х CD/DA х FB/CF = 1.

Что и требовалось доказать.

Многими веками позже к доказательству теоремы Менелая приложил руку итальянский ученый Джованни Чева и вместе с тем вывел свою теорему. Теперь имена ученых тесно связаны. А теорема Чевы тебе тоже может пригодиться. 

Формулировка: Пусть в треугольнике ABC точки A', B' и C' лежат на сторонах BC, AC, AB соответственно. Прямые AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке O тогда и только тогда, когда верно равенство: AB'/B'C х BC'/C'A х CA'/A'B = 1.

Так что же мы выяснили? Теорема Менелая — это важное правило математики, которое помогает нам лучше понимать принципы деления отрезков. Также ее дополняет теорема Чевы. Пришло время проверить знания на практике. Дерзай и покоряй даже самые сложные примеры.

Что доказывает теорема Менелая?

1. Все углы треугольника равны.
2. Произведение отношений длин отрезков, на которые прямая делит стороны треугольника, равно 1.
3. Что в ЕГЭ очень сложные задания.

Что следует из обратной теоремы Менелая?

1. Точки лежат на одной прямой.
2. Прямые параллельны.
3. Все стороны треугольника одинаковы.

Через какие свойства можно доказать теорему Менелая?

1. Через пень-колоду.
2. Через теорему Чевы.
3. Через свойства подобных треугольников.