Порядок действий в математике

cover
8533
Говорила же мама: сначала мой руки, потом садись за стол. Думаешь, это только у мамы такие строгие правила? У математиков еще хлеще! Присаживайся поудобнее и смотри.
19 января 2024 г.
Содержание статьи

Для чего нужен порядок действий?

Математика — наука точная и систематизированная. Именно поэтому все в ней должно быть по правилам.


Когда мы только учимся работать с математическими вычислениями, они остаются простыми и не требуют дополнительных алгоритмов выполнения. Но как только уровень знаний повышается, примеры и уравнения становятся более сложными и комплексными — именно поэтому их решение лучше разбивать на этапы и выполнять один за другим в определенном порядке.


Более того, этапы работы с вычислениями бывают разные — потому что и математические операции в заданиях встречаются разные. И если не следовать определенному алгоритму, мы не сможем прийти к верному результату.

Порядок вычислений в выражениях без скобок

Первое, чему нам нужно научиться, — это решение примеров с разными типами математических операций. Просто задание с базовыми вычислениями, ничего лишнего. 


Что мы делаем в таком случае? Для начала смотрим на данное в задаче выражение и на то, какие вычисления нам необходимо выполнить. 


Если в задании есть только сложение и вычитание или только умножение и деление, то никаких сложных алгоритмов строить не нужно: можно просто выполнять операции одна за другой по принципу «слева направо».


Пример:


  1. только сложение и вычитание

17 –1 9 +2 23 –3 6 = 25,


  1. только умножение и деление

18 :1 3 *2 7 :3 2 = 21.


Если же в примере комбинируются операции из разных категорий, важно следить за тем, чтобы не сбивался порядок их выполнения. Запоминаем навсегда и никогда не выбрасываем эту информацию из головы: сначала выполняются операции на умножение и деление, потом — на сложение и вычитание. И все это по тому же принципу: слева направо.


То есть, если задание на контрольной выглядит так:


24 + 15 : 3 – 6 * 2 + 3 = ,


то наш пошаговый алгоритм будет выглядеть следующим образом:


24 +3 15 :1 3 –4 6 *2 2 +5 3 = 20


Такие дела. Ну что, идем дальше — в мир чудес, кроликов и… скобок?

Порядок вычислений в выражениях со скобками

В случае, если в задании появляются скобки, мы выполняем действия следующим образом: сначала считаем то, что находится внутри них, а потом следуем правилам, которые изучили до этого. 


Получается следующий алгоритм: выражение в скобках → умножение и деление → сложение и вычитание. 


Вот как это выглядит на практике:


40 :3 (16 –1 8) +5 (12 *2 3) :4 2 = 23.

Примеры выражений

Давай вместе разберем несколько сложных заданий и посмотрим, как порядок действий с числами работает в реальных математических выражениях. А то вдруг нас просто обманывают, придумывают кучу ненужных правил, а на самом деле считают все подряд, не расставляя никакие номера сверху над примерами.


Начнем с выражения, которое мы уже видели в прошлом пункте: 


40 :3 (16 –1 8) +5 (12 *2 3) :4 2 = .


Решение:

1) 16 – 8 = 8,

2) 12 * 3 = 36,

3) 40 : (16 – 8) = 40 : 8 = 5,

4) (12 * 3) : 2 = 36 : 2 = 18,

5) 40 : (16 – 8) + (12 * 3) : 2 = 40 : 8 + 36 : 2 = 5 + 18 = 23.


Получаем: 40 : (16 – 8) + (12 * 3) : 2 = 23.


Второй пример: 


12 –4 6 +5 3 *3 (15 –1 2) –6 (42 :2 7) = .


Решение:

1) 15 – 2 = 13,

2) 42 : 7 = 6,

3) 3 * (15 – 2) = 3 * 13 = 39,

4) 12 – 6 = 6,

5) 12 – 6 + 3 * (15 – 2) = 12 – 6 + 3 * 13 = 12 – 6 + 39 = 6 + 39 = 45,

6) 12 – 6 + 3 * (15 – 2) – (42 : 7) = 12 – 6 + 3 * 13 – 6 = 12 – 6 + 39 – 6 = 6 + 39 – 6 = 39.


Получается: 12 – 6 + 3 * (15 – 2) – (42 : 7) = 39.


Третий пример: 


28 : 4 + (12 – 2) : 5 + (6 * 4 * (7 – 3)) = .


Решение:

1) 7 – 3 = 4, 

2) 6 * 4 = 24,

3) 6 * 4 * (7 – 3) = 6 * 4 * 4 = 24 * 4 = 96,

4) 12 – 2 = 10,

5) 28 : 4 = 7,

6) (12 – 2) : 5 = 10 : 5 = 2,

7) 28 : 4 + (12 – 2) : 5 + (6 * 4 * (7 – 3)) = 28 : 4 + (12 – 2) : 5 + (6 * 4 * 4) =

28 : 4 + (12 – 2) : 5 + (24 * 4) = 28 : 4 + (12 – 2) : 5 + 96 = 28 : 4 + 10 : 5 + 96 =

7 + 10 : 5 + 96 = 7 + 2 + 96 = 9 + 96 = 105.


Получается: 28 : 4 + (12 – 2) : 5 + (6 * 4 * (7 – 3)) = 105.


Вот мы и закончили разбираться с порядком действий в математических выражениях! Как видишь, они совсем не сложные, нужно лишь запомнить своеобразный «принцип приоритетности» арифметических операций.


Теперь давай еще парочку вопросов — и по домам, договорились?


Проверь себя

Какое действие среди перечисленных выполняется в первую очередь?

— Сложение.

— Деление.

— Действие в скобках.


Каков алгоритм выполнения действий с числами?

— Умножение и деление → действия в скобках → сложение и вычитание.

— Действия в скобках → умножение и вычитание → сложение и деление.

— Действия в скобках → умножение и деление → сложение и вычитание


Какое действие следует выполнить третьим в следующем выражении:

(48 – 20 : (8 – (2 * 2)) + 1) : 4?

— Вычитание.

— Деление.

— Сложение. 

Admin1