Формулы сокращенного умножения
Как читать формулы сокращенного умножения?
Решать равенства, исследовать разные выражения с кучей иксов и игреков — всегда такая мука. К счастью, у продвинутых математиков всегда есть туз в рукаве, и мы поделимся некоторыми лайфхаками для решения сложных уравнений. Но с тебя — попытаться выучить эти формулы и много практиковаться! Договорились? Тогда поехали.
Формулы сокращенного умножения — это самые распространенные в математической практике случаи умножения многочленов.
Тема непростая, но не пугайся — на практике эти формулы помогут привести нерешаемый пример в более простую и понятную форму, с которой будет удобно работать. Мы скоро посмотрим на примерах, как их использовать, но сначала разберемся, как читать эти загадочные формулы.
Показываем тебе эти замечательные формулы в таблице ниже, чтобы проще было запоминать.
Посмотрим на первую строчку таблицы и переведем с математического языка на человеческий: квадрат суммы равен сумме квадрата первого члена, удвоенного произведения членов и квадрата второго члена.
Теперь попробуй самостоятельно прочитать все формулы из таблички по этому принципу и выучить, чтобы на уроках отлетало от зубов. Это очень пригодится на экзаменах.
Доказательство формул сокращенного умножения
Теперь интересный момент — почему эти формулы работают? Давай разберемся с помощью куба суммы и куба разности.
Куб суммы можно представить как умножение трех одинаковых скобок:
(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y). И постепенно мы будем упрощать это выражение.
(x + y)(x + y)(x + y) = (x + y)(x + y)2 = (x + y)(x2 + 2xy + y2) = x3 + 2x2y + xy2 + x2y +2xy2 + y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.
Куб разности работает аналогично:(x - y)3 = (x - y)(x - y)(x - y) = (x - y)(x - y)2 = (x - y)(x2 - 2xy + y2) = x3 - 2x2y + xy2 - x2y + 2xy2 - y3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3.
Теперь ты можешь не только пользоваться математическими лайфхаками, но и доказать, что они действительно работают. Попробуй поэкспериментировать с другими формулами, и ты увидишь, что они тоже значительно упрощают всю эту длинную цепочку умножения.
Примеры применения формул сокращенного умножения
Теперь посмотрим на примере, как легко и быстро возвести выражение в степень, не перемножая скобки.
У нас есть выражение (4x + 3y)2. Воспользуемся формулой и без долгих преобразований получим ответ: (4x + 3y)2 = (4х)2 + 2 * 4x * 3y + (3y)2 = 16x2 + 24xy + 9y2.
Также с помощью этого метода можно научиться быстро считать в уме, разбивая большие числа на маленькие, степени которых проще вспомнить!
Например, 112 = (5 + 6)2 = 52 + 2 * 5 * 6 + 62 = 25 + 60 + 36 = 121.
Вот как просто это работает!
Проверь себя
Что такое формулы сокращенного умножения?
- распространенные случаи умножения многочленов;
- лайфхак по изучению таблицы умножения;
- новая куча иксов и игреков.
Как правильно прочитать формулу разности квадратов?
- разность квадратов равна двум новым скобочкам.
- разность квадратов равна произведению разности членов и суммы членов.
- разность квадратов равна квадрату разности.
Что мы получим в результате упрощения квадрата разности (2x - 5y)2?
- -20xy2
- 4x2 + 20xy + 25y2
- 4x2 - 20xy + 25y2