Решать равенства, исследовать разные выражения с кучей иксов и игреков — всегда такая мука. К счастью, у продвинутых математиков всегда есть туз в рукаве, и мы поделимся некоторыми лайфхаками для решения сложных уравнений. Но с тебя — попытаться выучить эти формулы и много практиковаться! Договорились? Тогда поехали. 

Формулы сокращенного умножения — это самые распространенные в математической практике случаи умножения многочленов.

Тема непростая, но не пугайся — на практике эти формулы помогут привести нерешаемый пример в более простую и понятную форму, с которой будет удобно работать. Мы скоро посмотрим на примерах, как их использовать, но сначала разберемся, как читать эти загадочные формулы. 

Показываем тебе эти замечательные формулы в таблице ниже, чтобы проще было запоминать.

Посмотрим на первую строчку таблицы и переведем с математического языка на человеческий: квадрат суммы равен сумме квадрата первого члена, удвоенного произведения членов и квадрата второго члена.

Теперь попробуй самостоятельно прочитать все формулы из таблички по этому принципу и выучить, чтобы на уроках отлетало от зубов. Это очень пригодится на экзаменах.

Теперь интересный момент — почему эти формулы работают? Давай разберемся с помощью куба суммы и куба разности.

Куб суммы можно представить как умножение трех одинаковых скобок: 

(x + y)³ = (x + y)(x + y)(x + y). И постепенно мы будем упрощать это выражение.

(x + y)(x + y)(x + y) = (x + y)(x + y)² = (x + y)(x² + 2xy + y²) = x³ + 2x²y + xy² + x²y +2xy² + y³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

Куб разности работает аналогично:(x - y)³ = (x - y)(x - y)(x - y) = (x - y)(x - y)² = (x - y)(x² - 2xy + y²) = x³ - 2x²y + xy² - x²y + 2xy² - y³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³.

Теперь ты можешь не только пользоваться математическими лайфхаками, но и доказать, что они действительно работают. Попробуй поэкспериментировать с другими формулами, и ты увидишь, что они тоже значительно упрощают всю эту длинную цепочку умножения.

Теперь посмотрим на примере, как легко и быстро возвести выражение в степень, не перемножая скобки.

У нас есть выражение (4x + 3y)². Воспользуемся формулой и без долгих преобразований получим ответ: (4x + 3y)² = (4х)² + 2 * 4x * 3y + (3y)² = 16x² + 24xy + 9y².

Также с помощью этого метода можно научиться быстро считать в уме, разбивая большие числа на маленькие, степени которых проще вспомнить!

Например, 112 = (5 + 6)² = 52 + 2 * 5 * 6 + 62 = 25 + 60 + 36 = 121.

Вот как просто это работает!

Что такое формулы сокращенного умножения?

1. распространенные случаи умножения многочленов;
2. лайфхак по изучению таблицы умножения;
3. новая куча иксов и игреков.

Как правильно прочитать формулу разности квадратов?

1. разность квадратов равна двум новым скобочкам.
2. разность квадратов равна произведению разности членов и суммы членов.
3. разность квадратов равна квадрату разности.

Что мы получим в результате упрощения квадрата разности (2x - 5y)²?

1. -20xy²
2. 4x² + 20xy + 25y²
3. 4x² - 20xy + 25y²