Касательная к окружности
Касательная к окружности, секущая и хорда
Итак, прямая и окружность — два главных героя нашей геометрической пьесы. Давай начнем ее с рассмотрения нескольких возможных вариантов динамики их отношений.
Отношение прямой к окружности может быть одним из следующих: прямая не пересекается, пересекает круг один раз или дважды.
Если мы проведем прямую таким образом, что она будет пересекаться с кругом исключительно в одной точке, то эту прямую мы будем называть касательной, а место соприкосновения — точкой касания. А теперь определение:
Касательная — это прямая, которая касается окружности в одной единственной точке и не пересекает её.
Точка касания — это именно та точка, в которой касательная касается окружности.
Но что будет, если прямая окажется немного смелее и вместо того, чтобы просто коснуться, внаглую пройдет через весь круг, пересекая его в двух точках? В этом случае линия называется секущей. Линия будто пронзает круг, точно как стрела проходит через яблоко:
Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.
Теперь рассмотрим хорду. Это отрезок прямой, соединяющий две любые точки на окружности. Это как мост внутри круга, перекинутый от одной точки на краю к другой.
Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Хорда всегда лежит внутри окружности и её концы находятся на окружности.
Звучит знакомо? Потому что мы уже давно знакомы с одной из представительниц этой выборки, но знаем ее под другим именем. Диаметр на самом деле является хордой. Это самая длинная хорда, которую можно провести в окружности, идеально разрезающая круг пополам.
Свойства касательной
Теперь рассмотрим наших «героев» чуточку подробнее. Касательная, несмотря на то, что это простая прямая линия, является своеобразной звездой в мире геометрии. У нее есть несколько удивительных свойств, которые делают ее особенной.
Теорема о касательной гласит, что касательная всегда перпендикулярна радиусу в точке касания. Это может показаться незначительной деталью, но она имеет существенное значение для геометрических доказательств и построений.
Представим себе прямую b, касающуюся окружности с центром O в точке A. Мы можем доказать, что касательная (прямая b) перпендикулярна радиусу (OA) от обратного.
Проведем от центра окружности радиус к точке касания А. Предположим, что b — не перпендикулярна этому отрезку. Но тогда получается, что ОА будет наклонной по отношению к b (то есть не будет образовывать с ней угол в 90°). Теперь, если мы попытаемся провести перпендикуляр из точки О к прямой b, получим еще одну точку пересечения окружности и b, что противоречит основному принципу касания в геометрии. Следовательно, радиус не может не быть перпендикулярен к касательной. Теорема доказана.
- Из этой теоремы можно вывести ещё одно свойство касательной. Касательной будет любая прямая, которая проходит через точку на окружности, где заканчивается радиус, и перпендикулярна этому радиусу.
- Другое интересное свойство проявится, когда мы проведем две касательных из одной точки к одному кругу. Если мы проведем отрезки от этой одной точки к двум точкам касания, то эти отрезки будут одинаковой длины и составят равные углы с прямой, проходящей через центр круга.
Свойства секущей
Секущая тоже имеет свои собственные уникальные качества, например:
1) Если две секущие пересекаются внутри круга, то угол, который они образуют, будет равен половине разницы между мерами большей и меньшей дуг, заключенных в этих секущих.
Что такое дуга?
Дуга окружности — это часть окружности, отрезок между двумя точками на ней. Представь, что ты берёшь кусочек круга, как часть спортивного обруча, только вместо ножа ты режешь его секущими. Полученная часть и есть дуга.
2) Если из одной и той же точки окружности проведены две секущие линии, то произведение первой секущей и ее внешней части равно произведению второй секущей и ее внешней части.
3) Еще одно интересное свойство возникает, когда из одной и той же точки к окружности проводят секущую и касательную линии. В этом случае квадрат длины отрезка от общей точки до точки касания равен произведению длины секущей внутри круга на длину её внешней части.
AB2= AE × AC
Давай попробуем решить задачу.
Из точки A вне окружности проведена касательная AB и секущая AD, как показано на рисунке. Найдем длину отрезка CD, если AC =7, а длина отрезка AB касательной равна 14.
Решение:
Вспоминаем теорему о касательной и секущей. В данном случае
AB2= AC × AD
Нам известна длина AB и AC. Подставляем эти значения в формулу:
142=7 × AD
AD = 142/7=196/7=28
Теперь, когда мы знаем длину AD, мы можем найти CD. Для этого нужно вычесть AC из AD.
CD = AD-AC
CD = 28-7=21
Получаем ответ. Длина CD равна 21.
Свойства хорд
Хорды, несмотря на свою простоту, обладают богатым набором свойств.
- Если две хорды окружности параллельны, то дуги, заключенные между ними, равны.
- Если к хорде провести перпендикуляр из центра окружности (радиус), то это пересечение разделит хорду и охватываемые ею дуги пополам.
- Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков первой будет равно произведению отрезков второй.
AM × MB=DM × MC
Попробуем решить задачу.
AB || CD
∠COD = 80°
Чему будет равна градусная мера дуги BD?
Решение:
Для начала проясним, что ◡BD =◡ AC, так как согласно свойству о параллельных хордах ◡AB = ◡CD.
Градусная мера дуги CD будет равна градусное мере ∠COD = 80° ◡CD и ◡AB = 80°.
В окружности 360°, а следовательно, чтобы найти сумму дуг AC и BD нужно вычесть из 360 сумму дуг CD и AB
360 — 80 – 80 = 360 — 160 = 200
Мы уже знаем, что ◡BD =◡ AC, а следовательно:
◡BD = 200° 2 = 100°
Ответ: 100°
Свойства окружности
Но не только у прямых имеются свои «козыри в рукаве». Окружность также может похвастаться парочкой замечательных свойств:
- Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, притом одну.
- Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры.
Заключение
Даже, казалось бы, простейшие вещи такие как окружность и линия обладают целой россыпью запутанных свойств. Да, поначалу все это может показаться набором неперевариваемых формул, но с должной практикой обязательно придет и понимание, а задачи будут решаться на раз — два! К слову о задачах…
Давай проверим новые знания!
Каким свойством обладает касательная по отношению к радиусу в точке касания?
- Она всегда параллельна радиусу в точке касания.
- Она всегда составляет угол 45 градусов с радиусом в точке касания.
- Она всегда перпендикулярна радиусу в точке касания
Дано:
AB || CD
∠АОВ = 103°
Чему будет равна градусная мера дуги ВC?
- 247°
- 154°
- 231°
Дано:
AС = 8 см
АE = 2 см
АF больше АЕ в полтора раза
ВС меньше АВ а два см
Найдите периметр треугольника АВС:
- 30 см
- 26 см
- 32 см