Итак, прямая и окружность — два главных героя нашей геометрической пьесы. Давай начнем ее с рассмотрения нескольких возможных вариантов динамики их отношений. 

Отношение прямой к окружности может быть одним из следующих: прямая не пересекается, пересекает круг один раз или дважды.

Если мы проведем прямую таким образом, что она будет пересекаться с кругом исключительно в одной точке, то эту прямую мы будем называть касательной, а место соприкосновения — точкой касания. А теперь определение:

Касательная — это прямая, которая касается окружности в одной единственной точке и не пересекает её.

Точка касания — это именно та точка, в которой касательная касается окружности.

Но что будет, если прямая окажется немного смелее и вместо того, чтобы просто коснуться, внаглую пройдет через весь круг, пересекая его в двух точках? В этом случае линия называется секущей. Линия будто пронзает круг, точно как стрела проходит через яблоко:

Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Теперь рассмотрим хорду. Это отрезок прямой, соединяющий две любые точки на окружности. Это как мост внутри круга, перекинутый от одной точки на краю к другой.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Хорда всегда лежит внутри окружности и её концы находятся на окружности.

Звучит знакомо? Потому что мы уже давно знакомы с одной из представительниц этой выборки, но знаем ее под другим именем. Диаметр на самом деле является хордой. Это самая длинная хорда, которую можно провести в окружности, идеально разрезающая круг пополам.

Теперь рассмотрим наших «героев» чуточку подробнее. Касательная, несмотря на то, что это простая прямая линия, является своеобразной звездой в мире геометрии. У нее есть несколько удивительных свойств, которые делают ее особенной. 

Теорема о касательной гласит, что касательная всегда перпендикулярна радиусу в точке касания. Это может показаться незначительной деталью, но она имеет существенное значение для геометрических доказательств и построений.

Представим себе прямую b, касающуюся окружности с центром O в точке A. Мы можем доказать, что касательная (прямая b) перпендикулярна радиусу (OA) от обратного. 

Проведем от центра окружности радиус к точке касания А. Предположим, что b — не перпендикулярна этому отрезку. Но тогда получается, что ОА будет наклонной по отношению к b (то есть не будет образовывать с ней угол в 90°). Теперь, если мы попытаемся провести перпендикуляр из точки О к прямой b, получим еще одну точку пересечения окружности и b, что противоречит основному принципу касания в геометрии. Следовательно, радиус не может не быть перпендикулярен к касательной. Теорема доказана.

1. Из этой теоремы можно вывести ещё одно свойство касательной. Касательной будет любая прямая, которая проходит через точку на окружности, где заканчивается радиус, и перпендикулярна этому радиусу.
2. Другое интересное свойство проявится, когда мы проведем две касательных из одной точки к одному кругу. Если мы проведем отрезки от этой одной точки к двум точкам касания, то эти отрезки будут одинаковой длины и составят равные углы с прямой, проходящей через центр круга.

Секущая тоже имеет свои собственные уникальные качества, например:

1) Если две секущие пересекаются внутри круга, то угол, который они образуют, будет равен половине разницы между мерами большей и меньшей дуг, заключенных в этих секущих. 

Что такое дуга?

Дуга окружности — это часть окружности, отрезок между двумя точками на ней. Представь, что ты берёшь кусочек круга, как часть спортивного обруча, только вместо ножа ты режешь его секущими. Полученная часть и есть дуга.

2) Если из одной и той же точки окружности проведены две секущие линии, то произведение первой секущей и ее внешней части равно произведению второй секущей и ее внешней части.

3) Еще одно интересное свойство возникает, когда из одной и той же точки к окружности проводят секущую и касательную линии. В этом случае квадрат длины отрезка от общей точки до точки касания равен произведению длины секущей внутри круга на длину её внешней части.

AB²= AE × AC

Давай попробуем решить задачу.

Из точки A вне окружности проведена касательная AB и секущая AD, как показано на рисунке. Найдем длину отрезка CD, если AC =7, а длина отрезка AB касательной равна 14.

Решение:

Вспоминаем теорему о касательной и секущей. В данном случае 

AB²= AC × AD

Нам известна длина AB и AC. Подставляем эти значения в формулу:

14²=7 × AD

AD = 14²/7=196/7=28

Теперь, когда мы знаем длину AD, мы можем найти CD. Для этого нужно вычесть AC из AD.

CD = AD-AC

CD = 28-7=21

Получаем ответ. Длина CD равна 21.

Хорды, несмотря на свою простоту, обладают богатым набором свойств. 

1. Если две хорды окружности параллельны, то дуги, заключенные между ними, равны.
2. Если к хорде провести перпендикуляр из центра окружности (радиус), то это пересечение разделит хорду и охватываемые ею дуги пополам.
3. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков первой будет равно произведению отрезков второй.

AM × MB=DM × MC

Попробуем решить задачу.

AB || CD

∠COD = 80°

Чему будет равна градусная мера дуги BD?

Решение:

  Для начала проясним, что ◡BD =◡ AC, так как согласно свойству о параллельных хордах ◡AB = ◡CD.

Градусная мера дуги CD будет равна градусное мере ∠COD = 80° ◡CD и ◡AB = 80°.

В окружности 360°, а следовательно, чтобы найти сумму дуг AC и BD нужно вычесть из 360 сумму дуг CD и AB 

360 — 80 – 80 = 360 — 160 = 200

Мы уже знаем, что ◡BD =◡ AC, а следовательно:

◡BD = 200° 2 = 100°

Ответ: 100°

Но не только у прямых имеются свои «козыри в рукаве». Окружность также может похвастаться парочкой замечательных свойств:

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, притом одну.
2. Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры. 

Даже, казалось бы, простейшие вещи такие как окружность и линия обладают целой россыпью запутанных свойств. Да, поначалу все это может показаться набором неперевариваемых формул, но с должной практикой обязательно придет и понимание, а задачи будут решаться на раз — два! К слову о задачах…

Давай проверим новые знания! 

Каким свойством обладает касательная по отношению к радиусу в точке касания?

1.    Она всегда параллельна радиусу в точке касания.
2.    Она всегда составляет угол 45 градусов с радиусом в точке касания.
3.   Она всегда перпендикулярна радиусу в точке касания

Дано:

AB || CD

∠АОВ = 103°

 Чему будет равна градусная мера дуги ВC?

1. 247°
2. 154°
3. 231°

Дано: 

AС = 8 см

АE = 2 см

АF больше АЕ в полтора раза

ВС меньше АВ а два см

Найдите периметр треугольника АВС:

1. 30 см
2. 26 см
3. 32 см