Что можно сказать о точке D по отношению к сторонам угла ABC?

Проведем перпендикуляры из точки D на стороны AB и BC

рассмотрим треугольники BHD и BKD:

           BD - общая сторона(гипотенуза)

           ∠HBD = ∠KBD ⇒ ΔBHD = ΔBKD ⇒ DH = DC

Таким образом, можно сделать вывод, что точка D равноудалена от сторон угла ABC

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон этого угла

Обратно. Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе.

Дано: ∠ABC - неразвернутый, BP - биссектриса, точка D лежит внутри угла ABC, DH₁ = DH₂, DH₁ ⊥ AB, DH₂ ⊥ BC, K ∈ BP

Доказать: KM₁ = KM₂, D ∈ BP

Докажем первую часть доказательства

1)    Проведем перпендикуляры KM₁ ⊥ AB, KM₂ ⊥ BC

2)     Δ BM₁K = Δ BM₂K (т.к. BK - общая гипотенуза и ∠M₁BK = ∠M₂BK) ⇒ KM₁ = KM₂

Таким образом доказана первая часть доказательства

Теперь докажем вторую часть доказательства

1)Δ BH₁D = ΔBH₂D (т.к. BD - общая гипотенуза и DH₁ = DH₂) ⇒ ∠H₁BD = ∠H₂BD ⇒ BD - биссектриса ⇒ D ∈ BP

Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвернутого угла и равноудаленных от сторон угла, является биссектриса угла

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

В данном треугольнике ABC:

AH, BE, CK -биссектрисы, которые пересекаются в точке O

Точка O равноудалена от всех сторон треугольника

Точка пересечения биссектрис - замечательная точка треугольника.