Свойства биссектрисы угла
Теорема о биссектрисе угла
Что можно сказать о точке D по отношению к сторонам угла ABC?
Теорема о биссектрисе угла
Проведем перпендикуляры из точки D на стороны AB и BC
рассмотрим треугольники BHD и BKD:
BD - общая сторона(гипотенуза)
∠HBD = ∠KBD ⇒ ΔBHD = ΔBKD ⇒ DH = DC
Таким образом, можно сделать вывод, что точка D равноудалена от сторон угла ABC
Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон этого угла
Обратно. Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе.
Доказательство теоремы
Дано: ∠ABC - неразвернутый, BP - биссектриса, точка D лежит внутри угла ABC, DH1 = DH2, DH1 ⊥ AB, DH2 ⊥ BC, K ∈ BP
Доказать: KM1 = KM2, D ∈ BP
Докажем первую часть доказательства
1) Проведем перпендикуляры KM1 ⊥ AB, KM2 ⊥ BC
2) Δ BM1K = Δ BM2K (т.к. BK - общая гипотенуза и ∠M1BK = ∠M2BK) ⇒ KM1 = KM2
Таким образом доказана первая часть доказательства
Теперь докажем вторую часть доказательства
1)Δ BH1D = ΔBH2D (т.к. BD - общая гипотенуза и DH1 = DH2) ⇒ ∠H1BD = ∠H2BD ⇒ BD - биссектриса ⇒ D ∈ BP
Следствие 1
Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвернутого угла и равноудаленных от сторон угла, является биссектриса угла
Следствие 2
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
В данном треугольнике ABC:
AH, BE, CK -биссектрисы, которые пересекаются в точке O
Точка O равноудалена от всех сторон треугольника
Точка пересечения биссектрис - замечательная точка треугольника.
