Построение треугольника по трем элементам
Расстояние от точки до прямой
Рассмотрим прямую m и точку A.
Проведем несколько прямых: AH - перпендикулярную к прямой m и AB так чтобы точки H и B не совпадали.
Отрезок AB называется наклонной к прямой m, а отрезок HB - проекцией наклонной. Треугольник AHB является прямоугольным, в котором AH является катетом, а AB гипотенуза. Ранее было изучено, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катетов. Поэтому перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, всегда меньше любой наклонной проведенной из этой же точки к прямой.
Расстоянием от точки до прямой называют кратчайшее расстояние. Поэтому для того, чтобы найти расстояние между точкой и прямой необходимо найти длину перпендикуляра, проведенного из данной точки на прямую.
Расстояние между параллельными прямыми
Как можно найти расстояние между прямыми m и n?
Для того чтобы найти расстояние между параллельными прямыми необходимо на одной из прямых выбрать точку и найти расстояние от нее до другой прямой.
Пользуясь тем, что расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр, проведенный из этой точки к прямой, можно сделать вывод что расстояние между прямыми m и n равно длине отрезка AH
Теорема о точках параллельных прямых
Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой
Множество точек плоскости, расположенных по одну сторону от данной прямой и равноудаленных от нее, лежат на прямой, параллельной данной
По рисунку видно, что точки A,B,C и D равноудалены от прямой m и лежат на прямой n, которая параллельна прямой m
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Дано:
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Решение:
- Строим прямую и с помощью циркуля или линейки отмечаем на ней отрезок PQ, который равен отрезку AB
- Пользуясь циркулем, строим угол TPQ, равный углу O
- На луче PT откладываем отрезок PX, равный CD
- Соединим точки X и Q, тем самым мы получим треугольник XPQ
Как вы думаете сколько треугольников можно построить?
Бесконечно много, так как прямую с которой начинается построение можно выбрать произвольным образом. Но все треугольники, которые получатся, будут равны по первому признаку равенства треугольников.
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
Дано:
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
Решение:
- Строим прямую и с помощью циркуля или линейки отмечаем на ней отрезок PQ, который равен отрезку AB
- Пользуясь циркулем, строим угол TPQ, равный углу C
- Теперь строим угол RQP, равный углу D
- Лучи PT и QR пересекаются в точке S, таким образом треугольник PSQ-искомый
Как вы думаете сколько треугольников можно построить?
Бесконечно много, так как прямую с которой начинается построение можно выбрать произвольным образом. Но все треугольники, которые получатся, будут равны по второму признаку равенства треугольников.
Построение треугольника по трем сторонам
Дано:
Построение треугольника по трем сторонам
Решение:
- Строим прямую и отмечаем ней отрезок PQ, равный EF
- С помощью циркуля строим окружность с центром в точке P и радиусом AB
- Таким же способом строим окружность с центром в точке Q и радиусом CD
- Получившиеся окружности пересекаются в точке S, тогда треугольник который нам нужно было построить SPQ. PS = AB,SQ = CD,PQ = EF
Всегда ли данная задача имеет решение?
Задача имеет решение только в том случае, если длины отрезков удовлетворяют неравенству треугольника
