Линейное уравнение с одной переменной
Корни уравнения
Рассмотрим задачу: «в первом мешке было в два раза больше килограмм картошки, чем во втором. Если из 15кг из первого мешка переложить во второй, то масса мешком будет одинаковой. Сколько килограмм картошки во втором мешке?»
Обозначим за 
массу второго мешка, тогда масса первого мешка будет 
. Если из первого мешка достать 15кг, то его масса станет 
, а во втором мешке станет 
килограмм. Таким образом,
Чтобы найти массу второго мешка мы составили равенство, содержащее переменную. Такое равенство называется уравнение с одной переменной или уравнение с одной неизвестной.
Определение. Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство
Решить уравнение – значит найти множество его корней или доказать, что корней нет
Примеры поиска корней уравнения
- Уравнение
имеет лишь один корень - число 7 - Уравнение
имеет четыре корня: 0, 4, 7, -3. Каждое из этих чисел обращает исходное уравнение в нуль. - Уравнение
не имеет корней, так как значение левой части меньше значения правой - Уравнение
имеет бесконечно много корней, так как в силу распределительного свойства умножения значения правой и левой равны
Область определения
Определение. Областью определения уравнения (областью допустимых значений переменной в уравнении) называется множество значений переменной, при которых обе части уравнения имеют смысл.
Например, в уравнении 
обе части уравнения имеют смысл при любом значении переменной, а в уравнении 
обе его части имеют смысл только когда 
.
Равносильные уравнения
Определение. Уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают
Например, уравнения 
и 
являются равносильными, так как имеют одинаковые корни -2 и 2
Свойства равносильных уравнений
Если в исходном уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую при этом изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
, корень этих уравнений 1.
Если обе части исходного уравнения разделить или умножить на одно и тоже отличное от нуля число, то полученное уравнение будет равносильно исходному
Например, если уравнение 
разделить на 4, то получим уравнение 
, которое равносильно исходному
Если в какой-либо части или в обеих частях уравнения выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения уравнения, то полученное уравнение будет равносильно исходному
В результате тождественного преобразования получается выражение, значение которого совпадает со значением исходного выражения при любых допустимых значениях переменной
Линейное уравнение с одной переменной
Определение. Уравнение вида 
, где 
переменная, а 
и 
некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной
Рассмотрим уравнение 
, здесь 
, а 
Число 
называется коэффициентом, а свободным членом
Нахождение корней линейного уравнения с одной переменной
Рассмотрим случай, когда 
и любое число
Разделив обе части уравнения разделить на , то получим, что 
единственный корень уравнения
Если 
, а 
, то уравнение не имеет корней так как при начальных условиях равенство 
ни при каком не будет являться верным
Если и 
, то уравнение 
имеет бесконечно много корней, так как при любом данное равенство является верным