Модуль числа
Определение модуля числа
Представь, что все-все числа, которые мы знаем, лежат на одной бесконечной координатной плоскости. Или посмотри на рисунок. Это поможет понять, что же мы будем сегодня измерять.
Модуль числа — это математическая операция, которая позволяет найти расстояние от заданного числа до нуля на числовой прямой. Проще говоря, он показывает, насколько далеко в единицах оно находится от нуля и всегда дает неотрицательное значение.
Обозначается |x|.
Свойства модуля числа
Эта операция имеет несколько важных свойств, зная которые, можно проводить вычисления на лайте:
1. Отрицательные числа: | -x | = x. Это означает, что модуль отрицательного числа равен его положительному значению. Это логично, ведь расстояние не может иметь значение с минусом.
Пример: | -5 | = 5.
2. Ноль: | 0 | = 0. Модуль нуля всегда равен нулю.
3. Положительные числа: | x | = x. Если же мы имеем дело с положительными значениями, то его модуль остается неизменным.
Пример: | 3 | = 3.
Геометрическая интерпретация модуля
Модуль числа можно интерпретировать геометрически, что в целом будет повторять наше определение. Снова возвращаемся к прямой, на которой лежат значения. И понимаем, что все те единицы, которые нужно пройти от нуля до указанного значения в любую из сторон – это и есть наш модуль, то есть мера расстояния.
Если нам дан х, который не равен нулю (х ≠ 0), то он на координатной прямой имеет два значения, имеющих одинаковое расстояние x до нуля: |-х| и |х|.
Пример: если у нас есть расстояние 4, то значит, на координатной прямой этому расстоянию будут соответствовать |-4| и |4|.
Квадратный корень и модуль
Итак, теперь потренируемся и вспомним, что такое квадратный корень. А после посмотрим, как быть, если кто-то заключил наш несчастный корень в эти прямые линии.
Квадратный корень из x – это некое a, которое при возведении в квадрат будет равно х. Важное свойство: х ≥ 0.
Обозначается √x.
Есть некоторые правила для вычисления значений |√x|, и они снова связаны с положительностью и отрицательностью.
Если x > 0, то модуль остается без изменений: |√9| = √9.
Если x < 0, то – меняет знак: |-√9| = - (-√9) = √9.
Если мы возведем x в квадрат и затем извлечем из него квадратный корень, то получим: √(x2) = |x|.
Пример: √(-42) = |-4| = 4.
Модуль рационального числа
А тут о чем речь? Давай вспомним, кто такие эти рациональные числа.
Рациональные — это все числа на координатной прямой, включая дробные. То есть любое целое является рациональным, так как его можно записать в виде дроби (5 = 5/1).
Модуль находится так же просто, как мы делали это с целыми. К ним применимы все вышеперечисленные свойства.
|-х/у| = х/у;
|х/у| = х/у.
Пример:
|-3/5| = 3/5;
|3/5| = 3/5.
Примеры
Давай, чтобы стало понятнее, рассмотрим несколько примеров и простых задачек.
1. Чему равен | -7 |? Догадаешься? Ладно, не будем томить:
| -7 | = 7, так как это отвечает первому свойству.
2. Мы имеем выражение: |√8 - 8 |
Мы точно можем сказать, что (√8 - 8) < 0, следовательно, нам нужно изменить знак модуля этого выражения, снова возвращаясь к первому свойству. Как мы это сделаем?
Все просто: |√8 - 8 | = - (√8 - 8) = - √8 + 8 = 8 - √8.
3. Теперь нам нужно вычислить выражение с дробями |3/5 - 2/3|.
Приводим к общему знаменателю |9/15 - 10/15|, вычитаем и получаем |- 1/15|.
Теперь вспоминаем свойства и можем сказать, что |- 1/15| = 1/15.
Проверь себя
Что такое модуль числа?
– расстояние от числа до нуля на координатной прямой;
– способ сделать отрицательное положительным;
– расстояние от отрицательного числа до положительного.
Что из перечисленного является свойством модуля?
– если х < 0, то | x | = x;
– если х < 0, то | x | = - х;
– если x > 0, то | x | = - х.
Вычисли: |27 - √(-27)2|.
– 0;
– √27 - 27;
– 9.