Когда мы сравниваем числа  и , то для них может выполняться лишь одно из соотношений:  равно  ,  меньше  ,  больше  

1. Сравним две обыкновенные дроби  и 

Приведем дроби к общему знаменателю 96:  и 

Так как , то 

1. Сравним десятичную дробь с обыкновенной  и 

Переводим десятичную дробь 0,52 в обыкновенную , значит 

1. Сравним обыкновенные дроби  и 

Рассмотрим модули данных дробей, так как их числители равны, то сравним их знаменатели: знаменатель первой дроби больше, значит сама дробь меньше. Возвращаясь к отрицательным числам, получим, что 

Определение. Число  больше числа , если разность положительное число ; число  меньше числа , если разность отрицательное число 

Пример. Сравним числа  и , если a)  б)  в) 

а) , так как 

б) , так как 

в) , так как 

Теорема 1. Если , то ; если , то 

Доказательство: если , то , следовательно, , значит . Второй случай доказывается аналогично 

Теорема 2. Если  и , то 

Доказательство: так как  и , то  и . Рассмотрим , сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, следовательно 

Данное свойство называется свойством транзитивности

Теорема 3. Если  и любое число, то 

Доказательство: по условию , значит . Рассмотрим теперь разность , следовательно, данная разность отрицательна, значит 

Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство

Теорема 4. Если  и положительное число, то ; если отрицательное число, то 

Доказательство: Рассмотрим разность , так как по условию , то отрицательное число, следовательно, если положительное число, то отрицательно, поэтому , а если отрицательное число, то положительное число, значит  

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство 

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство 

Следствие. Если  и положительные числа и , то 

Для доказательства данного следствия разделим обе части неравенства на положительное число , тогда , следовательно 

Теорема 5. Если  и , то 

Доказательство: разности  и  отрицательны. Рассмотрим разность . Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, значит 

Если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. 

Теорема 6. Если  и , причем положительные числа, то 

Доказательство: разности  и  отрицательны. Рассмотрим разность . Каждое из слагаемых отрицательно, а значит их сумма тоже отрицательна, значит 

Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, в которых левые и правые части являются положительными числами, то получится верное неравенство 

Следствие. Если  и положительные числа и , то 

Чтобы доказать данное свойство достаточно почленно перемножать  верных неравенств

Сложите и перемножьте почленно неравенства 

1.  и 
2.  и 

Зная, что  и  оцените