Теорема о сумме углов треугольника

Одна из важнейших теорем в геометрии — это теорема о сумме углов треугольника 

Теорема. Сумма углов треугольника равна 

1.png

Дано: треугольник 

Доказать:

Доказательство: проведем прямую , которая будет параллельна основанию  так чтобы точка  принадлежала этой прямой.  и  как накрест лежащие 

Углы 4, 2 и 5 в сумме дают , то есть с учетом равенств можно сказать, что  или . Теорема доказана

Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с одним из углов этого треугольника. 

Рассмотрим произвольный треугольник 

2.png

по теореме о сумме углов треугольника 

так как они смежные, значит 

внешний угол треугольника

Таким образом внешний угол треугольника равен сумме двух других углов этого треугольника, не смежных с ним

В остроугольном треугольнике все углы острые. 

В тупоугольном треугольнике один угол больше 90 градусов, значит по теореме о сумме углов треугольника два других угла в сумме меньше 90 градусов, значит они острые. 

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусов, значит сумма двух других углов тоже равна 90 градусов, из этого следует, что эти два угла острые.