Геометрическим местом точек называется множество всех точек, обладающих определенным свойством 

Например, геометрическим местом точек, расположенных по одну сторону от данной прямой и равноудаленных от нее, является прямая, параллельная данной  

Все точки на данном рисунке равноудалены от прямой a и лежат по одну сторону от нее 

Докажем, что биссектриса угла является геометрическим местом точек 

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон этого угла 

Обратно. Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе. 

Дано: ∠ABC - неразвернутый, BP - биссектриса, точка D лежит внутри угла ABC, DH1 = DH2, DH1 ⊥ AB, DH2 ⊥ BC, K ∈ BP

Доказать: KM1 = KM2, D ∈ BP

Докажем первую часть доказательства

1. Проведем перпендикуляры KM1 ⊥ AB, KM2 ⊥ BC
2.  Δ BM1K = Δ BM2K (т.к. BK - общая гипотенуза и ∠M1BK = ∠M2BK) ⇒ KM1 = KM2

Таким образом доказана первая часть доказательства 

Теперь докажем вторую часть доказательства 

1. Δ BH1D = ΔBH2D (т.к. BD - общая гипотенуза и DH1 = DH2) ⇒ ∠H1BD = ∠H2BD ⇒ BD - биссектриса ⇒ D ∈ BP

Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвернутого угла и равноудаленных от сторон угла, является биссектриса угла

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

В данном треугольнике ABC:

AH, BE, CK - биссектрисы, которые пересекаются в точке O

Точка O равноудалена от всех сторон треугольника 

Точка пересечения биссектрис - замечательная точка треугольника.