Равнобедренный треугольник

Итак, что же такое равнобедренный треугольник (далее для удобства будем обозначать этот тип как «РБТ» )? 

Треугольник называется равнобедренным, если у него хотя бы две стороны имеют одинаковую длину. 

Само слово «равнобедренный» (isoskelés) происходит от греческих слов «isos», что означает «равный», и «skelos», что означает «ноги». Таким образом, РБТ можно представить как треугольник с равными ногами.

Теперь, когда мы познакомились с нашим героем, давайте изучим его суперспособности — его свойства:

Теорема №1

Если две стороны треугольника равны, то углы, лежащие при его основании, также будут равны

Доказательство:

Допустим, что в △АВС мы провели отрезок AD — биссектрису ∠BAC. Таким образом мы получим два новых треугольника — ABD и ACD, которые будут между собой равны. Почему? Сторона AD у них общая, ∠BAD = ∠DAC, а AB=AC (так как △АВС у нас все же равнобедренный). Все это указывает на равенство △ABD и △ACD (по первому признаку равенства т-ков), а следовательно, и другие соответствующие элементы у этих двоих будут равны, включая и ∠В и ∠С, которые лежат в основании нашего исходного и горячо любимого △АВС. Теорема доказана.

Теорема №2

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, будет и медианой, и высотой.

Доказательство

У нашего старого знакомого △ABC в углу A провели биссектрису AD. Как мы помним из доказательства теоремы №1, в этом случае △ABD=△ADC. Из этого следует:

1. BD = DC, что означает, что точка D — середина стороны BC ⇒ AD — медиана
2. ∠ADB = ∠ADC. При этом эти углы — смежные, то есть в сумме образуют 180°. Исходя из простых вычислений (180:2=90), мы видим, что и ∠ADB, и ∠ADС = 90°, а следовательно, что AD — еще и высота.

Таким образом, биссектриса AD в △ABC выполняет также роли и медианы, и высоты. Теорема доказана.

Теперь, когда мы знаем о суперспособностях РБТ, нужно закрепить знания о том,как различить представителей этого класса в природе. В геометрии есть несколько признаков, на которые стоит обратить внимание:

1. Равные углы: если два угла в треугольнике имеют одинаковое градусное значение, то он является равнобедренным.

2. Совпадение высоты и медианы: если отрезок прямой, обозначающий высоту, и отрезок прямой, обозначающий медиану, совпадают, это говорит о том, что треугольник равнобедренный.

3. Совпадение высоты и биссектрисы: еще один признак РТК-а — совпадение высоты с биссектрисой, проведенной из того же угла. 

4. Совпадение биссектрисы и медианы: если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, это означает, что он равнобедренный.

А теперь, на основе полученных нами знаний, давайте отработаем их применение при решении пары задач:

Задача №1

Треугольники ABC и BDC — равнобедренные. 

а)Докажите равенство двух других треугольников — ABD и ACD

б)Найдите угол ACD, если угол EAВ = 55°, а угол EDC = 20°

а) Доказательство:

У △ABD и △ACD:

1. Сторона AD — общая
2. ∠BAD = ∠CAD (так как АЕ — и перпендикуляр, и биссектриса в △АВС)
3. ∠EDB = ∠EDC (так как DЕ — и перпендикуляр, и биссектриса в △DВС)

Таким образом, △ABD = △ACD (по второму признаку равенства треугольников.

б) Решение:

1. в △AEB угол Е = 90°, а ∠EAB = 55° ⇒ ∠АBЕ = 35°
2. △AEB = △AEC, так как:
3. сторона АЕ — общая
4. АВ = АС (т.к. △AВС — равнобедренный)
5. BE = EC (т.к. АЕ — и перпендикуляр, и медиана у стороны BC)
6. из равенства △AEB и △AEC следует, что ∠АBЕ =∠ACE = 35°
7. в △CED угол E = 90°, а ∠EDC = 20° ⇒ ∠ECD = 70°
8. ∠ACD = ∠ECD + ∠ACE = 70° + 35° = 105°

Ответ: ∠ACD = 105°

Понимание свойств равнобедренного треугольника дает нам ключ к решению множества задач, и не только на уроках математики, контрольных работах или экзаменах, но и в жизни. Если понадобится построить пирамиду или испечь идеальный эчпочмак — равнобедренный треугольник наш лучший друг!

А теперь давай проверим новые знания!

Треугольник называется равнобедренным, если у него:

1. медиана, проведенная к основанию, также является и высотой
2. все углы между собой равны
3. основание перпендикулярно одной из боковых сторон. 

Найдите ∠B

1. 50°
2. 40°
3. 80°

Найдите ∠1, если ∠2 = 60°

1. 30°
2. 60°
3. 120°