Равнобедренный треугольник

cover
1006
Египетские пирамиды, древние мосты, эчпочмак - многие столпы человеческой цивилизации имеют в своей основе равнобедренный треугольник. Но что это такое? Разобрали все о равнобедренных треугольниках в нашей статье.
25 июля 2024 г.
Содержание статьи

Определение равнобедренного треугольника

Итак, что же такое равнобедренный треугольник (далее для удобства будем обозначать этот тип как «РБТ» )? 


Треугольник называется равнобедренным, если у него хотя бы две стороны имеют одинаковую длину. 


Само слово «равнобедренный» (isoskelés) происходит от греческих слов «isos», что означает «равный», и «skelos», что означает «ноги». Таким образом, РБТ можно представить как треугольник с равными ногами.

Свойства равнобедренного треугольника

Теперь, когда мы познакомились с нашим героем, давайте изучим его суперспособности — его свойства:


Теорема №1



Если две стороны треугольника равны, то углы, лежащие при его основании, также будут равны

  

Доказательство:


Допустим, что в △АВС мы провели отрезок AD — биссектрису ∠BAC. Таким образом мы получим два новых треугольника — ABD и ACD, которые будут между собой равны. Почему? Сторона AD у них общая, ∠BAD = ∠DAC, а AB=AC (так как △АВС у нас все же равнобедренный). Все это указывает на равенство △ABD и △ACD (по первому признаку равенства т-ков), а следовательно, и другие соответствующие элементы у этих двоих будут равны, включая и ∠В и ∠С, которые лежат в основании нашего исходного и горячо любимого △АВС. Теорема доказана.


Теорема №2





В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, будет и медианой, и высотой.


Доказательство


У нашего старого знакомого △ABC в углу A провели биссектрису AD. Как мы помним из доказательства теоремы №1, в этом случае △ABD=△ADC. Из этого следует:

  1. BD = DC, что означает, что точка D — середина стороны BC ⇒ AD — медиана
  2. ∠ADB = ∠ADC. При этом эти углы — смежные, то есть в сумме образуют 180°. Исходя из простых вычислений (180:2=90), мы видим, что и ∠ADB, и ∠ADС = 90°, а следовательно, что AD — еще и высота.


Таким образом, биссектриса AD в △ABC выполняет также роли и медианы, и высоты. Теорема доказана.

Признаки равнобедренного треугольника

Теперь, когда мы знаем о суперспособностях РБТ, нужно закрепить знания о том,как различить представителей этого класса в природе. В геометрии есть несколько признаков, на которые стоит обратить внимание:


1. Равные углы: если два угла в треугольнике имеют одинаковое градусное значение, то он является равнобедренным.

2. Совпадение высоты и медианы: если отрезок прямой, обозначающий высоту, и отрезок прямой, обозначающий медиану, совпадают, это говорит о том, что треугольник равнобедренный.

3. Совпадение высоты и биссектрисы: еще один признак РТК-а — совпадение высоты с биссектрисой, проведенной из того же угла. 

4. Совпадение биссектрисы и медианы: если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, это означает, что он равнобедренный.

Решение задач

А теперь, на основе полученных нами знаний, давайте отработаем их применение при решении пары задач:


Задача №1


Треугольники ABC и BDC — равнобедренные. 


а)Докажите равенство двух других треугольников — ABD и ACD

б)Найдите угол ACD, если угол EAВ = 55°, а угол EDC = 20°



а) Доказательство:

У △ABD и △ACD:

  1. Сторона AD — общая
  2. ∠BAD = ∠CAD (так как АЕ — и перпендикуляр, и биссектриса в △АВС)
  3. ∠EDB = ∠EDC (так как DЕ — и перпендикуляр, и биссектриса в △DВС)

Таким образом, △ABD = △ACD (по второму признаку равенства треугольников.


б) Решение:


  1. в △AEB угол Е = 90°, а ∠EAB = 55° ⇒ ∠АBЕ = 35°
  2. △AEB = △AEC, так как:
  3. сторона АЕ — общая
  4. АВ = АС (т.к. △AВС — равнобедренный)
  5. BE = EC (т.к. АЕ — и перпендикуляр, и медиана у стороны BC)
  6. из равенства △AEB и △AEC следует, что ∠АBЕ =∠ACE = 35°
  7. в △CED угол E = 90°, а ∠EDC = 20° ⇒ ∠ECD = 70°
  8. ∠ACD = ∠ECD + ∠ACE = 70° + 35° = 105°


Ответ: ∠ACD = 105°

Заключение

Понимание свойств равнобедренного треугольника дает нам ключ к решению множества задач, и не только на уроках математики, контрольных работах или экзаменах, но и в жизни. Если понадобится построить пирамиду или испечь идеальный эчпочмак — равнобедренный треугольник наш лучший друг!


А теперь давай проверим новые знания!

Проверь себя

Треугольник называется равнобедренным, если у него:


  1. медиана, проведенная к основанию, также является и высотой
  2. все углы между собой равны
  3. основание перпендикулярно одной из боковых сторон. 


Найдите ∠B



  1. 50°
  2. 40°
  3. 80°


Найдите ∠1, если ∠2 = 60°


  1. 30°
  2. 60°
  3. 120°


Admin1