Равнобедренный треугольник
Определение равнобедренного треугольника
Итак, что же такое равнобедренный треугольник (далее для удобства будем обозначать этот тип как «РБТ» )?
Треугольник называется равнобедренным, если у него хотя бы две стороны имеют одинаковую длину.
Само слово «равнобедренный» (isoskelés) происходит от греческих слов «isos», что означает «равный», и «skelos», что означает «ноги». Таким образом, РБТ можно представить как треугольник с равными ногами.
Свойства равнобедренного треугольника
Теперь, когда мы познакомились с нашим героем, давайте изучим его суперспособности — его свойства:
Теорема №1
Если две стороны треугольника равны, то углы, лежащие при его основании, также будут равны
Доказательство:
Допустим, что в △АВС мы провели отрезок AD — биссектрису ∠BAC. Таким образом мы получим два новых треугольника — ABD и ACD, которые будут между собой равны. Почему? Сторона AD у них общая, ∠BAD = ∠DAC, а AB=AC (так как △АВС у нас все же равнобедренный). Все это указывает на равенство △ABD и △ACD (по первому признаку равенства т-ков), а следовательно, и другие соответствующие элементы у этих двоих будут равны, включая и ∠В и ∠С, которые лежат в основании нашего исходного и горячо любимого △АВС. Теорема доказана.
Теорема №2
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, будет и медианой, и высотой.
Доказательство
У нашего старого знакомого △ABC в углу A провели биссектрису AD. Как мы помним из доказательства теоремы №1, в этом случае △ABD=△ADC. Из этого следует:
- BD = DC, что означает, что точка D — середина стороны BC ⇒ AD — медиана
- ∠ADB = ∠ADC. При этом эти углы — смежные, то есть в сумме образуют 180°. Исходя из простых вычислений (180:2=90), мы видим, что и ∠ADB, и ∠ADС = 90°, а следовательно, что AD — еще и высота.
Таким образом, биссектриса AD в △ABC выполняет также роли и медианы, и высоты. Теорема доказана.
Признаки равнобедренного треугольника
Теперь, когда мы знаем о суперспособностях РБТ, нужно закрепить знания о том,как различить представителей этого класса в природе. В геометрии есть несколько признаков, на которые стоит обратить внимание:
1. Равные углы: если два угла в треугольнике имеют одинаковое градусное значение, то он является равнобедренным.
2. Совпадение высоты и медианы: если отрезок прямой, обозначающий высоту, и отрезок прямой, обозначающий медиану, совпадают, это говорит о том, что треугольник равнобедренный.
3. Совпадение высоты и биссектрисы: еще один признак РТК-а — совпадение высоты с биссектрисой, проведенной из того же угла.
4. Совпадение биссектрисы и медианы: если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, это означает, что он равнобедренный.
Решение задач
А теперь, на основе полученных нами знаний, давайте отработаем их применение при решении пары задач:
Задача №1
Треугольники ABC и BDC — равнобедренные.
а)Докажите равенство двух других треугольников — ABD и ACD
б)Найдите угол ACD, если угол EAВ = 55°, а угол EDC = 20°
а) Доказательство:
У △ABD и △ACD:
- Сторона AD — общая
- ∠BAD = ∠CAD (так как АЕ — и перпендикуляр, и биссектриса в △АВС)
- ∠EDB = ∠EDC (так как DЕ — и перпендикуляр, и биссектриса в △DВС)
Таким образом, △ABD = △ACD (по второму признаку равенства треугольников.
б) Решение:
- в △AEB угол Е = 90°, а ∠EAB = 55° ⇒ ∠АBЕ = 35°
- △AEB = △AEC, так как:
- сторона АЕ — общая
- АВ = АС (т.к. △AВС — равнобедренный)
- BE = EC (т.к. АЕ — и перпендикуляр, и медиана у стороны BC)
- из равенства △AEB и △AEC следует, что ∠АBЕ =∠ACE = 35°
- в △CED угол E = 90°, а ∠EDC = 20° ⇒ ∠ECD = 70°
- ∠ACD = ∠ECD + ∠ACE = 70° + 35° = 105°
Ответ: ∠ACD = 105°
Заключение
Понимание свойств равнобедренного треугольника дает нам ключ к решению множества задач, и не только на уроках математики, контрольных работах или экзаменах, но и в жизни. Если понадобится построить пирамиду или испечь идеальный эчпочмак — равнобедренный треугольник наш лучший друг!
А теперь давай проверим новые знания!
Проверь себя
Треугольник называется равнобедренным, если у него:
- медиана, проведенная к основанию, также является и высотой
- все углы между собой равны
- основание перпендикулярно одной из боковых сторон.
Найдите ∠B
- 50°
- 40°
- 80°
Найдите ∠1, если ∠2 = 60°
- 30°
- 60°
- 120°