Как найти площадь треугольника

cover
235302
Треугольники бывают разные, известные параметры — тоже. А площадь найти нужно! Мы собрали в одной статье все самые популярные способы сделать это.
8 декабря 2023 г.
Содержание статьи

Основные понятия

Для начала разберемся с основными понятиями, чтобы не запутаться в том, что ищем и для чего можно применять все эти знания. Вспомним, что это за фигура такая и какие есть у нее особенности.


Треугольник — это плоская фигура, которая образована пересечением трех линий. Эти линии в свою очередь образовывают три внутренних угла. 


Из этого следует, что фигура имеет три стороны, назовем их a, b, c, а также внутренние углы, пусть это будут углы 𝛂, 𝛃, 𝛄. 


Площадь — это количество места на плоскости, которое занимает фигура. Она измеряется в квадратных единицах (квадратных сантиметрах, квадратных метрах и т. д.).


В задачах на экзамене нам может выпасть как произвольный треугольник, в котором нет никаких особенностей, так и какой-нибудь из видов фигуры. Это могут быть равнобедренные, равносторонние и прямоугольные треугольники. Для этих видов можно использовать методы, которые учитывают особенности их строения.

Формулы площади для любого треугольника

Здесь мы собрали универсальные формулы, которые подойдут для того, чтобы легко находить площадь произвольного треугольника.

Площадь треугольника через основание и высоту

Это простейший способ, которым удобно пользоваться, если известны его основание (одна любая сторона — предположим, а) и высота, проведенная к этому основанию (h). 


S = a * h / 2.


Площадь треугольника через две стороны и угол между ними


Если известны две стороны (например, a и b) и угол между ними (α), то можно использовать следующую формулу:


S = (a * b * sinα) / 2.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и стороны

Можно описать около нашей фигуры окружность, у которой будет свой радиус (радиус описанной окружности обычно обозначается заглавной буквой R).


И если известны стороны a, b, c и радиус описанной окружности, значит, проще всего будет рассчитать, сколько места занимает фигура, таким образом:


S = (a * b * c) / 4R.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и стороны


А еще окружность можно вписать внутрь. Тогда ее радиус будет обозначаться строчной буквой r.


И при известных сторонах a, b, c и радиусе r, решение задачи можно проводить с помощью этой формулы:


S = r * (a + b + c) / 2.


Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам


Очень часто в задачах дают величину углов и всего одной стороны. Но и в этом случае мы не безоружны. Нам поможет тригонометрия и значения синусов.


S = (a2 * sinα * sinβ) / (2 * sin (α + β)).


Формула Герона для вычисления площади треугольника


А вот древнегреческий математик Герон, вероятно, синусы не любил, поэтому придумал, как вычислить площадь треугольника через периметр. Точнее, через половину периметра. 


Его универсальную формулу можно использовать, если известны все три стороны треугольника. 


S = √(p * (p - a) * (p - b) *(p - c)),


где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр.

Формулы для прямоугольного треугольника

У прямоугольных треугольников есть одна особенность — конечно же, это прямой угол. К нему прилегают катеты a и b, напротив него лежит самая длинная сторона — гипотенуза с. Подробно о том, как найти их площадь, мы рассказывали здесь.


А сейчас вспомним основные методы, как находить площадь таких треугольников.


Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу


Если видишь, что имеется численное значение длины гипотенузы (с) и величина угла (α), прилегающего к ней, то пользуйся:


S = (c2 * sin(2α)) / 4.


Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу


Если же известен один из катетов (a) и угол (α) между этим катетом и гипотенузой, то подойдет формула, в которой в поисках нам помогает тангенс.


S = (a2 * tgα) / 2.


Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности


Снова воспользуемся услугами вписанной окружности и будем производить расчет через ее радиус и гипотенузу треугольника:


S = r * (r + c).


Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу


А еще гипотенуза (с) со вписанной окружностью соприкасаются в точке, которая делит нашу длинную сторону на отрезки c1 и c2. Даже через их длину можно найти площадь нашей фигуры.


S = c1 * c2


Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона


Уже знакомый нам математик и для для треугольников с прямым углом постарался и вывел упрощенный вариант:


S = (p - a) * (p - b),


где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр.

Формулы для равнобедренного треугольника

Все мы знаем, что существуют треугольники с одинаковыми сторонами. Так вот, для вычисления их площади тоже есть специальные формулы.


Равнобедренным называется треугольник, у которого равны две стороны, равносторонним — у которого равны все стороны.


Площадь треугольника через боковые стороны и угол между ними

Мы уже узнали, что площадь треугольника можно найти через две стороны и угол между ними, но сейчас мы рассматриваем равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны, а значит, если нам известны эти стороны и угол α между ними, то смело пользуемся формулой:


S = (a2 * sinα) / 2.

Формулы для равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности


Около равностороннего треугольника мы тоже можем описать окружность, и если известен радиус R, то нам поможет эта формула:


S = (3√3 * R2) / 4


Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности


Если мы вписываем окружность и известен ее радиус r, то можно решать по формуле:


S = 3 √3 * r2.


Площадь равностороннего треугольника через сторону 


Так как в равнобедренном треугольнике все стороны равны, то можно найти площадь, зная всего одну сторону:


S = (√3 * a2) / 4.


Площадь равностороннего треугольника через высоту 


Если известна высота h, то можно использовать такую формулу:


S = h2 / √3.

Таблица формул нахождения площади треугольника

Для удобства изучения и запоминания мы собрали все в одну таблицу.

Проверь себя


1. Какая формула используется для вычисления площади треугольника через основание и высоту?


— S = (a * b * sin(α)) / 2;

— S = a * h / 2;

— S = (abc) / (4R).


2. Какая формула Герона применяется для прямоугольного треугольника?


— S = √(p * (p - a) * (p - b) *(p - c));

— S = a * h / 2;

— S = (p - a) * (p - b).



3. Какая формула используется для вычисления площади равностороннего треугольника через сторону?


— S = (√3 * a2) / 4;

— S = (1/2) * b * h;

— S = (1/2) * a2 * sin(α) * sin(β) / sin(α + β).

Admin1