Логарифмические уравнения
Виды логарифмических уравнений
Начнем с основ: к этому виду уравнений относятся все те выражения, в которых встречаются логарифмы — но не простые, а особенные. В аргументе или основании логарифма должна быть задействована неизвестная х.
Если плохо помнишь эту тему, вернись к статье «Логарифмы» и закрой пробелы в знаниях прежде чем читать дальше.
Все уравнения, в которых встречаются выражения с сокращением log, можно разделить на несколько категорий:
- простейшие: те, что принимают вид
(то есть логарифм равен числу);
- посложнее: те, что принимают вид
(то есть логарифм равен другому логарифму с таким же основанием);
- сложные: те, что требуют дополнительных преобразований (например, в таких выражениях могут встретиться логарифмы с разными основаниями, дополнительные множители, степени чисел и многое другое).
Алгоритм решения логарифмических уравнений
Как мы уже поняли, примеры с логарифмами могут быть разными. Именно поэтому создать единый алгоритм их решения может быть сложно: нет такой схемы, в которую можно было бы подставить любое выражение и с легкостью найти неизвестные.
Зато есть основное правило решения логарифмических уравнений: пользоваться свойствами логарифмов для упрощения выражений, которые встречаются в математических примерах.
Если мы все же попробуем составить алгоритм решения этого типа алгебраических заданий, получится примерно такой план.
- Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной, опираясь на тот факт, что аргумент и основание логарифма по определению должны быть больше нуля, а основание еще и не должно быть равно единице.
- Привести выражение к максимально простому виду (желательно, первому или второму из того списка, что упомянуты в разделе «Виды логарифмических уравнений»).
- Если у логарифмов одинаковые основания, с легкостью преобразовать их. Если основания разные — провести дополнительные преобразования, чтобы упростить уравнение.
- Решить получившееся простое уравнение.
- Сравнить полученные результаты с областью допустимых значений.
- Записать ответ.
Примеры решения
Начнем с простейшего логарифмического уравнения. Вот как оно выглядит: 
Чтобы решить это уравнение, нужно выполнить очень простую задачу: вернуться к понятию логарифма и вспомнить, как он вообще работает.
В нашем случае это означает, что 
Значение х положительное, значит мы спокойно можем записывать этот корень в ответ.
Ответ: х = 8.
Возьмем пример другого вида:
Первым шагом находим область допустимых значений: чтобы аргумент логарифма не был меньше или равен нулю, х не должен быть меньше или равен 0,5.
Следом за этим — сравниваем аргументы. Они будут равны, потому что логарифмы в правой и левой части выражения имеют одинаковые основания.
Решаем получившуюся математическую задачку, находим корень: х = 4. Проверяем корень через ОДЗ и записываем его в ответ.
Ответ: х = 4.
Заключение
Ну и по традиции, мы попросили искусственный интеллект написать шутку про логарифмические уравнения, и вот что из этого вышло:
Почему логарифмические уравнения всегда такие спокойные? Потому что они всегда находят корень проблемы и приводят все к гармонии!
А теперь пришло время прощаться. Теперь ты знаешь, как решать логарифмические примеры и можешь справиться с любой математической задачей. Главное — не забывай о свойствах логарифмов. Ну и проверь себя напоследок.
Проверь себя
Попробуй самостоятельно решить логарифмическое уравнение и выбери верный ответ из предложенных.
— х = 32.
— х = 10.
— х = 25.
Попробуй решить задачку с логарифмами с обеих сторон и выбери верный ответ из предложенных.
— х = 1,5.
— х = 4.
— х = 1.
А теперь задачка для героев — реши самый сложный пример из этого раздела и выбери верный ответ.
— х = 3.
— х = 9.
— х = 5.