Начнем с основ: к этому виду уравнений относятся все те выражения, в которых встречаются логарифмы — но не простые, а особенные. В аргументе или основании логарифма должна быть задействована неизвестная х. 

Если плохо помнишь эту тему, вернись к статье «Логарифмы» и закрой пробелы в знаниях прежде чем читать дальше.

Все уравнения, в которых встречаются выражения с сокращением log, можно разделить на несколько категорий:

1. простейшие: те, что принимают вид (то есть логарифм равен числу);
2. посложнее: те, что принимают вид (то есть логарифм равен другому логарифму с таким же основанием);
3. сложные: те, что требуют дополнительных преобразований (например, в таких выражениях могут встретиться логарифмы с разными основаниями, дополнительные множители, степени чисел и многое другое).

Как мы уже поняли, примеры с логарифмами могут быть разными. Именно поэтому создать единый алгоритм их решения может быть сложно: нет такой схемы, в которую можно было бы подставить любое выражение и с легкостью найти неизвестные. 

Зато есть основное правило решения логарифмических уравнений: пользоваться свойствами логарифмов для упрощения выражений, которые встречаются в математических примерах.

Если мы все же попробуем составить алгоритм решения этого типа алгебраических заданий, получится примерно такой план.

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной, опираясь на тот факт, что аргумент и основание логарифма по определению должны быть больше нуля, а основание еще и не должно быть равно единице.
2. Привести выражение к максимально простому виду (желательно, первому или второму из того списка, что упомянуты в разделе «Виды логарифмических уравнений»).
3. Если у логарифмов одинаковые основания, с легкостью преобразовать их. Если основания разные — провести дополнительные преобразования, чтобы упростить уравнение.
4. Решить получившееся простое уравнение.
5. Сравнить полученные результаты с областью допустимых значений.
6. Записать ответ.

Начнем с простейшего логарифмического уравнения. Вот как оно выглядит: .

Чтобы решить это уравнение, нужно выполнить очень простую задачу: вернуться к понятию логарифма и вспомнить, как он вообще работает.

означает, что

В нашем случае это означает, что . Тогда мы решаем получившееся уравнение и получаем х = 8.

Значение х положительное, значит мы спокойно можем записывать этот корень в ответ.

Ответ: х = 8. 

Возьмем пример другого вида:

.

Первым шагом находим область допустимых значений: чтобы аргумент логарифма не был меньше или равен нулю, х не должен быть меньше или равен 0,5.

Следом за этим — сравниваем аргументы. Они будут равны, потому что логарифмы в правой и левой части выражения имеют одинаковые основания.

Решаем получившуюся математическую задачку, находим корень: х = 4. Проверяем корень через ОДЗ и записываем его в ответ.

Ответ: х = 4.

Ну и по традиции, мы попросили искусственный интеллект написать шутку про логарифмические уравнения, и вот что из этого вышло:

Попробуй самостоятельно решить логарифмическое уравнение и выбери верный ответ из предложенных.

— х = 32.

— х = 10.

— х = 25.

Попробуй решить задачку с логарифмами с обеих сторон и выбери верный ответ из предложенных.

— х = 1,5.

— х = 4.

— х = 1.

А теперь задачка для героев — реши самый сложный пример из этого раздела и выбери верный ответ.

— х = 3.

— х = 9.

— х = 5.