Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

AB||CD; AD || BC

Является ли параллелограмм выпуклым? ДА

В параллелограмме противоположные стороны и углы равны

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем диагональ AC, которая разделит параллелограмм на два треугольника. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:

1. AC - общая сторона
2. 
3. 

Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, значит AB=CD, AD=BC и

Докажем теперь равенство углов A и C:

ч.т.д.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем диагонали AC и BD, точка O - точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольники AOB и COD:

1. AB = CD
2.  
3.  

Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, значит AO=OC, OB=OD

ч.т.д.

Для чего нужны признаки параллелограмма?

Признаки параллелограмма позволяют понять является ли четырёхугольник параллелограммом

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм

Дано: четырехугольник ABCD, AB || CD, AB = CD

Доказать: ABCD - параллелограмм

Доказательство: проведем диагональ AC, которая разделит четырехугольник на два треугольника. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:

1. AC - общая сторона
2. AB = CD
3. 

Следовательно треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, значит . Но углы 3 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении прямых AD и BC секущей AC, поэтому AC||BC. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит этот четырехугольник является параллелограммом

ч.т.д.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм

Дано: четырехугольник ABCD, AB = CD,AD = BC

Доказать: ABCD-параллелограмм

Доказательство: проведем диагональ AC, которая разделит четырехугольник на два треугольника. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:

1. AC - общая сторона
2. AB = CD
3. AD = BC

Следовательно треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников, значит , следовательно, AB || CD. Так как AB = CD и AB || CD, то по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD является параллелограммом.

ч.т.д.

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм

Дано: четырехугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC, BO = OD

Доказать: ABCD - параллелограмм

Доказательство: Рассмотрим треугольники AOB и COD:

1. AO = OC
2. BO = OD
3. 

Следовательно треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, значит AB = CD и . Так как , то AB || CD. Тогда по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD является параллелограммом

ч.т.д.