Параллелограмм
Определение
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
AB||CD; AD || BC
Является ли параллелограмм выпуклым? ДА
первое свойство параллелограмма
В параллелограмме противоположные стороны и углы равны
Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем диагональ AC, которая разделит параллелограмм на два треугольника. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:
- AC - общая сторона
Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, значит AB=CD, AD=BC и 
Докажем теперь равенство углов A и C:
ч.т.д.
Второе свойство параллелограмма
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем диагонали AC и BD, точка O - точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольники AOB и COD:
- AB = CD
Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, значит AO=OC, OB=OD
ч.т.д.
Для чего нужны признаки параллелограмма?
Для чего нужны признаки параллелограмма?
Признаки параллелограмма позволяют понять является ли четырёхугольник параллелограммом
Первый признак параллелограмма
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм
Дано: четырехугольник ABCD, AB || CD, AB = CD
Доказать: ABCD - параллелограмм
Доказательство: проведем диагональ AC, которая разделит четырехугольник на два треугольника. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:
- AC - общая сторона
- AB = CD
Следовательно треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, значит 
. Но углы 3 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении прямых AD и BC секущей AC, поэтому AC||BC. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит этот четырехугольник является параллелограммом
ч.т.д.
Второй признак параллелограмма
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм
Дано: четырехугольник ABCD, AB = CD,AD = BC
Доказать: ABCD-параллелограмм
Доказательство: проведем диагональ AC, которая разделит четырехугольник на два треугольника. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:
- AC - общая сторона
- AB = CD
- AD = BC
Следовательно треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников, значит 
, следовательно, AB || CD. Так как AB = CD и AB || CD, то по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD является параллелограммом.
ч.т.д.
Третий признак параллелограмма
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм
Дано: четырехугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC, BO = OD
Доказать: ABCD - параллелограмм
Доказательство: Рассмотрим треугольники AOB и COD:
- AO = OC
- BO = OD
Следовательно треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, значит AB = CD и . Так как , то AB || CD. Тогда по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD является параллелограммом
ч.т.д.
