Как найти площадь круга?

cover
68495
Нечто круглое ведь тоже занимает место! И сегодня мы узнаем, как вычислить, сколько места занимает круг на плоскости. Это важный навык, который пригодится в школе и в жизни. Погнали!
8 декабря 2023 г.
Содержание статьи

Окружность и круг — в чём отличие?

Для начала разберемся в терминах, чтобы понимать, что же нам предстоит найти. Если мы бежим по треку на стадионе и говорим, что бегаем по кругу, правы ли мы? Скорее, нет. Вернее будет сказать, что мы бежим по окружности. А почему так? Сейчас все объясним.


Окружность — это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром. 


Круг — это плоская фигура, заключенная внутри окружности.


Проще говоря, окружность — тот самый трек на стадионе, а круг — это все пространство внутри этого трека. Можно легко определить, сколько места занимает это пространство, если знать формулы.

Формулы вычисления площади круга

И, чтобы не терять времени, перейдем сразу к формулам. Есть несколько способов вычислить площадь. Все зависит от того, какие данные мы имеем в условии задачи.


Познакомимся сегодня с самыми распространенными методами, которые могут встретиться в задачах ЕГЭ и ОГЭ по математике.


Не забудь, что площадь всегда измеряется в квадратных единицах: см2, км2, дм2, мм2, и т.д.

Формула площади круга через радиус

Считается, что это самый простой способ. Площадь круга (S) при известном радиусе (r) равна π (пи) умножить на квадрат радиуса. 


π — это наш математический помощник, который всегда рядом, когда речь идет о круглых вещах. Ученые вывели, что отношение длины окружности к ее диаметру — величина постоянная, которая не зависит от параметров. Эту величину назвали греческой буквой π и вычислили ее значение: 3.1415926535. Для удобства вычисления обычно значение округляют до сотых: π = 3.14.


Формула выглядит так: S = π * r².


Формула площади круга через диаметр


Если известен диаметр (d), то тоже сложностей не возникает. Мы помним, что диаметр — это два радиуса (d = 2r). Значит, мы можем преобразовать известное нам выражение, чтобы найти площадь круга через диаметр.


S = π * r² = π * (d/2)² = π * (d²/4).

Формула площади круга через длину окружности

Если нам дана длина окружности (C), то есть длина той самой замкнутой линии, внутри которой и располагается наш круг, то тоже есть способ.


Конечно, мы будем использовать для расчета и саму длину, и снова наше любимое число π:


S = C² / (4π).

Примеры задач на нахождение площади круга

Рассмотрим парочку примеров.


Пример 1: У нас есть круг с радиусом 5 см. Найдем его площадь, используя формулу S = π * r². 


S = π * 5² = π * 25 = 25π (см²).


Пример 2: Допустим, у нас есть диаметр круга, равный 10 м. Мы используем формулу S = π * (d²/4). 


S = π * (10²/4) = π * (100/4) = 25π (м²).


Пример 3: Длина окружности равна 12 м. Мы применяем формулу S = C² / (4π). 


S = 12² / (4π) = 144 / (4π) = 36 / π (м²).

Проверь себя

Круг — это…


— замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра;

— фигура внутри окружности;

— шар.


По какой формуле можно вычислить площадь круга, если известен диаметр?


— S = π * (d²/4);

— S = 2π * (d²/4);

— S = d²/(π 4).


Известно, что длина окружности составляет 10√π см. Какова площадь круга внутри нее?


— 100 см²;

— 25 см²;

— 10 см².

Admin1