Степень числа — это многократное умножение числа на себя. Количество умножений указывается в показателе степени. Число, которое умножается — в основании степени.

Если у нас есть степень а с показателем n, который больше единицы, то это выражение записывается как an,(а в степени n). 

Возвести в степень — значит, взять какое-то число, и умножить его само на себя какое-то количество раз. Сколько раз ты будешь производить умножение — показывает показатель степени. Он потому так и называется — показатель, легко запомнить. А число, которое мы будем умножать, называют основанием степени. 

Математически определение можно записать так: 

где:

a — основание;

n — показатель. 

Непонятно? Сейчас будет проще. 

Помнишь Наруто? Представь, что он может создавать копии самого себя, но последовательно. То есть сначала Наруто создает одну копию самого себя — как бы умножает себя на 2. А потом оба этих Наруто снова создают по копии — опять умножают себя на 2. И снова, и снова, и снова… И так — 8 раз. 

Сколько у нас будет Наруто? 

Чтобы решить это, нам нужно будет взять 2 и умножить её саму на себя 8 раз. Получится 2*2*2*2*2*2*2*2.

Длинно. И запутаться при счете легко: одну двойку пропустили — и уже результат неправильный. 

Поэтому умные математики придумали записывать это иначе. Цифру 2 мы взяли 8 раз. И получили 2 в степени 8 — 2⁸

Эта запись читается как «2 в степени 8» или «8-ая степень числа 2»

С показателями степени 2 и 3 все еще проще. 

Если показатель степени равен 2 — с² — запись читается как «с в квадрате»;

Если показатель равен 3 — с³ — читаем как «с в кубе».

Легко запомнить: когда мы умножаем число само на себя, мы как бы находим площадь квадрата со стороной, равной этому числу. Поэтому a² — «а в квадрате».

А если мы умножаем число само на себя трижды, то как будто находим объем куба. Поэтому a³ — «а в кубе».

А теперь еще немного всё упростим. 

Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:

a¹ = a

Почему? Потому что мы не умножали число, мы просто взяли его 1 раз. 

Как Наруто, который не применял никаких техник. 

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.

0ⁿ = 0

Вообще просто: сколько на 0 не умножай — все равно получится 0. 

Единица в любой степени равна 1.

1ⁿ = 1

С единицей та же история: умножать её можно сколько угодно, больше она не станет. 

Любое число в нулевой степени равно единице.

a⁰ = 1

Объяснение этой истории будет чуть ниже. 

Теперь разберемся с положительными и отрицательными числами.  

a^b = с

c больше 0, если:

1. a больше 0
2. a меньше 0, но b — четное

c меньше 0, если a меньше 0, и b — нечетное

Если мы возводим в степень положительное число (больше нуля) — мы всегда получаем положительное число. 

С отрицательными числами (меньше нуля) всё интереснее. 

Если показатель степени четный — после возведения в степень получится положительное число. Помнишь, минус на минус даёт плюс? С четным показателем степени все отрицательные числа встают в такие пары. Это как на медляке: все разбиваются на пары, никто не остается обиженным.

(-2)⁶= -2 * -2 * -2 * -2 * -2 * -2 = 4*4*4 = 64

Если показатель степени нечетный — результат возведения в степень отрицательного числа будет также отрицательным числом.

По той же логике. Минус на минус дает плюс, а вот плюс на минус — минус.

С нечетным показателем степени наши отрицательные числа не делятся на ровные пары, и остается одинокая цифра, которая всем портит медляк.

(-2)⁷= -2 * -2 * -2 * -2 * -2 * -2 * -2 = 4*4*4*(-2) = -128

Это штука, в которой можно посмотреть степени чисел от 1 до 10. Как таблица умножения, только таблица степеней.

Как пользоваться: в левом столбце находишь число, с которым будешь проводить операцию. В верхней строке — ту степень, в которую число надо возвести. Ищешь ячейку пересечения — и вуаля! — результат.

Свойства степеней — это, по сути, правила, по которым мы будем считать числа в степенях. 

Свойство 1: произведение степеней

Если мы умножаем степени, у которых основание одинаковое, то основание мы не трогаем. Берем показатели степеней и складываем их. 

aⁿ * a^m = a^m+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа

Пример: 

4⁵ * 4² = ?

Видим одинаковое основание — 4. Оставляем его в покое и складываем показатели степени: 5 и 2. Получаем выражение 4⁵ * 4² = 4⁵⁺² = 4⁷ = 16384

Свойство 2: частное степеней

Допустим, нам надо поделить степени с одинаковым основанием. Тогда само основание мы не трогаем, а показатели вычитаем: из показателя делимого показатель делителя.

aⁿ / a^m = a^m-n

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Кстати, это свойство объясняет, почему a⁰ = 1. Чтобы получить показатель степени 0, вам нужно вычесть показатель степени из самого себя, то есть поделить число само на себя: аⁿ : аⁿ = а^n-n = а⁰ = 1. 

Пример: 

4⁵ / 4² = ?

Видим одинаковое основание — 4. Его не трогаем, вычитаем показатели степени: 5 и 2. Получаем выражение 4⁵ / 4² = 4^5-2 = 4³ = 64

Свойство 3: возведение степени в степень

Основание остается неизмененным, а показатели умножаются друг на друга.

(aⁿ)^m = a^n·m 

a — основание степени

m, n — показатели степени, натуральное число

Пример:

(4⁵)² = ?

Основание — 4 — пусть остается. А показатели 5 и 2 перемножаем. Получаем выражение (4⁵)² = 4^5*2 = 4¹⁰ = 1048576

Свойство 4: возведение в степень произведения

Возводим в степень каждый множитель, затем перемножаем полученные результаты. 

(a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ

a, b — основания степени

n — показатели степени, натуральное число

Пример:

(4 * 2)² = ?

Основания — 4 и 2 — каждое возводим в степень. И затем перемножаем полученные результаты. Получаем выражение 4² * 2² = 16*8 = 128

Свойство 5: возведение в степень частного

Возводим в степень делимое и делитель по отдельности, а затем производим, собственно, деление. 

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

a, b — основание степени, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число 

Пример:

(4 / 2)² = ?

Основания — 4 и 2 — каждое возводим в степень. И затем первый результат делим на второй. Получаем выражение 4² / 2² = 16/8 = 2

Тут все просто. Начинаем с возведения в степень, а с плюсами и минусами разбираемся потом. Если есть скобки — начинаем с них. 

Пример: 

4⁵ – 6² = ? 

Скобок нет, поэтому сначала возводим 4 и 6 в степени, затем выполняем вычитание. Получаем: 4⁵ – 6² = 1024 – 36 = 988

(4 – 6)⁵ = ? 

Скобки есть, поэтому сначала выполняем вычитание, а потом уже результат возводим в степень. Получаем: (4 – 6)⁵ = (-2)⁵ = -32 

Обрати внимание: основание степени — отрицательное число, а показатель — нечетное, следовательно, мы однозначно получим в ответе отрицательное число!

Как будет выглядеть запись этого выражения с использованием степеней? 5*5*5*5 – 4*4*4 / 2*2

— 4⁵ – 4⁶ / 2⁶

— 5⁴ – 4³ / 2²

— 2^4-3 / 6²

Чему будет равно выражение y∙y∙y3∙y2

— y⁷

— y⁵

— 6y

4 ∙ 8 ∙ 32 = ?

— 4⁵

— 2¹⁰

— 960