Начнем с полноценного академического определения.

Треугольник — это фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и соединенных между собой отрезками.

Говоря проще, чтобы получилась настоящая гора, нам нужно взять три рандомные точки и соединить их отрезками. Точки будут называться вершинами, а отрезки — сторонами.

А, В, С — вершины 

АВ, ВС, АС — стороны

Форму этой фигуры, кстати, очень легко вычислить — она встречается в нашей жизни едва ли не каждый день. Все, что важно иметь треугольнику, будь он горой или кусочком торта, — это 3 стороны и 3 вершины, образующие углы.

Получается, что нас окружают одни треугольники: онигири, кусочки торта, сыр, праздничные колпаки, елки, дорожные знаки и пирамиды. В общем, куча всякой всячины!

Так-с, давай посмотрим, что еще нужно знать об углах треугольника. Ну, кроме того, что их обязательно должно быть три…

Если мы взглянем на картинку выше, то поймем, что вершины у наших гор могут быть совершенно разными. Большими и маленькими, узкими и широкими, высокими и низкими. Они, конечно, могут быть еще заснеженными или застроенными особняками, но, вроде бы, математики это не учитывают в своей классификации.

Внутренними углами считаются ∠ABC, ∠BAC и ∠BCA. Они могут быть трех видов: прямые, острые и тупые. 

Определить вид внутреннего угла легко: прямой составляет 90 градусов, а стороны, образующие его, всегда перпендикулярны друг другу. А дальше действует простое правило: если угол меньше, чем прямой, то он острый; если же больше — то тупой.

Только чур не обзываться!

Прямой угол = 90°

Острый угол < 90°

Тупой угол > 90°

Ну что, поговорили о внутренностях нашей Фудзиямы, пришла пора посмотреть и на то, что вокруг нее. Возможно, здесь мы наконец обнаружим и снег, и деревья, и спортсменов, и даже горных козлов. Хотя, конечно, шансов мало — этим математикам лишь бы все привести к правилам и цифрам.

У каждого треугольника есть еще и так называемые внешние углы. В обычных условиях их, конечно, не видно (скрываются в тумане), но они обязательно появятся, если немножко дорисовать фигуру. А точнее, если продлить одну из ее сторон.

Внешним считается угол, смежный одному из внутренних углов треугольника. Например, в нашем случае образовавшийся внешний ∠DBC является смежным внутреннему ∠АВС.

Вернемся к мысли, с которой мы начинали предыдущий раздел: треугольники бывают разные. Как и людей, у них куча разных особенностей, которые отличают одну фигуру от другой. Мы вот, например, насчитали целых 6 видов.

1) По величине углов

Здесь все просто, это ты уже точно знаешь. Если у треугольника есть прямой угол, то он прямоугольный, если есть тупой — тупоугольный, а если все углы меньше 90°— остроугольный.

2) По величине сторон

А с этим давай разберемся немного подробнее. Стороны у треугольника тоже могут быть разные: одна длиннее, другая короче. 

Так вот, если видишь, что все три стороны фигуры равны, то это равносторонний треугольник. Кстати, у него будут равны и углы — все по 60 градусов. Если же равны только 2 стороны, а третья отличается, то это равнобедренный треугольник — у него как бы есть два одинаковых бедра. И два одинаковых угла при основании, кстати, тоже имеются. А если все стороны разные, то треугольник (ну, угадаешь?) разносторонний.

Давай вспомним все, что мы изучили до этого: у нас было три вершины, три стороны, три типа внутренних углов, три вида треугольников в каждой из классификаций. Так вот, основных свойств у этой фигуры, кстати, тоже… а нет, подожди, не три. Их все-таки пять… Что-то эти математики тут не так посчитали, никакой логики.

Свойство номер раз. Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам.

Ага ,Да, прям всегда. Будь это прямоугольный, тупоугольный, остроугольный и какой угодно еще треугольник, сумма его внутренних углов всегда будет составлять 180 градусов.

Свойство номер два-с. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Возвращаемся к нашему рисунку: ∠DBC будет равен сумме углов, которые расположены подальше от него — то есть ∠ВАС + ∠АСВ. И это работает для любого из внешних углов, какую бы сторону фигуры мы ни продлили.

Свойство номер три-с. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, против меньшей стороны — меньший.

Например, если у нас есть тупоугольный треугольник, то самая длинная сторона будет располагаться ровно напротив тупого угла, потому что он по-любому будет самым большим. 

Свойство номер четыре-с. Против равных сторон треугольника лежат равные углы — и, наоборот, против равных углов лежат равные стороны.

То есть, если мы берем в пример равнобедренный треугольник, то напротив двух его равных «бедер» будут лежать два равных угла. И наоборот.

Свойство номер пять-с. Сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины его третьей стороны.

Посмотрим еще раз на первую картинку, по которой мы знакомились с фигурой: каким бы ни был треугольник и какими бы ни были его углы и отрезки, соединяющие вершины, сторона АВ всегда будет меньше суммы длин сторон ВС + АС; ВС всегда будет меньше АВ + АС; а АС — всегда меньше АВ + ВС.

Вот и все! Теперь ты знаешь все самое важное о такой геометрической фигуре как треугольник. Уверены, отличить его от других фигур не составит труда, а главное — обязательно запомни его свойства, ведь именно они помогут тебе в решении задач в части «Геометрия».

Чему равен внешний угол треугольника?

— Сумме двух внутренних углов, смежных с ним,

— Сумме двух внутренних углов, не смежных с ним,

— Внутреннему углу фигуры, смежному с ним.

Может ли сумма углов треугольника превышать 90 градусов?

— Да, в любом треугольнике,

— Да, но только в прямоугольном треугольнике,

— Нет, сумма углов всегда равна 90°.

Если одна сторона треугольника равна 5 см, а вторая 8 см, какой длины может быть третья сторона?

— 13 см,

— 17 см,

— 9 см.