Арифметические действия с числами
Положительные и отрицательные числа
Рассмотрим числовую прямую.
Числа со знаком «+» называются положительными, при написании знак плюс можно опускать. Числа со знаком «–» называются отрицательными и записываются строго со знаком. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
Противоположные числа
Два числа, отличающиеся только знаками, называют противоположными числами, например, числа + 2 и – 2; – 11,4 и + 11,4
Каждое число имеет одно и только одно противоположное ему число. Только число 0 противоположно самому себе.
Число противоположное числу n обозначают – n. – (– n) = n
Натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и нуль называют целыми числами.
Модуль числа
Модуль числа это расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчета до этого числа.
Обозначение |n|
Модуль числа 0 равен 0. Модуль числа, не равного нулю, всегда положителен
Например, |– 5| = 5; |10| = 10
Сравнение положительных и отрицательных чисел
Любое положительное число больше любого отрицательного числа
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше
Любое отрицательное число меньше 0, а любое положительное больше 0
Сравните числа:
– 5,2 и 1
– 3,06 и – 7,2
– 0,5 и – 0,4
Сумма противоположных чисел равна нулю n + (– n) = 0
От прибавления нуля число не меняется n + 0 = n
Сложение положительных и отрицательных чисел
Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел, надо:
- найти сумму их модулей
- поставить знак минус перед полученным числом
Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками, надо:
- найти модули чисел и из большего модуля вычесть меньший
- перед полученным результатом поставить знак большего по модулю числа
Вычитание чисел с разными знаками
Чтобы найти разность двух чисел можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому m – n = m + (– n)
Числовые выражения, которые содержат только знаки сложения и вычитания, можно представить как сумму. такое выражение называется алгебраической суммой.
Найти значение выражения
– 10,5 + 8,25
14,7 – 20,8
– 17,14 + 20
– 0,11 – 1,7
Умножение и деление
Чтобы найти произведение (частное) двух чисел с разными знаками, надо:
- умножить (разделить) модули чисел
- поставить знак «–» перед полученным числом
Чтобы найти произведение (частное) двух чисел с одинаковыми знаками, надо умножить (разделить) их модули
Переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения
Для любых рациональных чисел a и b выполняется равенство
ab = ba – переместительное свойство
Для любых чисел a, b и c справедливо равенство
(ab) c = a(bc) – сочетательное свойство
Для любых рациональных чисел a, b и c справедливо равенство
(a + b)c = ac + bc – распределительное свойство