Аксиома параллельных прямых
Об аксиомах геометрии
Определение. Аксиома — это утверждение, которое считается верным и не нуждается в доказательстве
Ранее мы уже встречались с аксиомами, например:
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну
Аксиома о сравнении двух отрезков:
На любом луче от его начала можно отложить отрезок равный данному, и притом только один
Аксиома о сравнении двух углов:
От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один
Аксиома параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую параллельную данной, и притом только одну
Рассмотрим прямую a и точку B, не лежащую на данной прямой
Аксиома параллельных прямых
Проведем через точку 
прямую 
, перпендикулярную к прямой 
, и прямую 
, перпендикулярную к прямой
так как две прямые перпендикулярные к третьей параллельны, то 
Аксиома параллельных прямых
Если прямую повернуть на достаточно малый угол, то она пересечет прямую , значит через точку можно провести только одну прямую параллельную прямой
Следствия из аксиомы
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую
Даны параллельные прямые и .Пусть прямая 
пересекает прямую в точке 
, но не пересекает прямую . Так как не пересекает , то 
, но так как прямые и проходят через точку , то возникает противоречие аксиоме о параллельных прямых
Следствия из аксиомы
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
докажем, что прямые и параллельны зная, что 
и 
. Предположим, что и не параллельны, тогда они будут пересекаться в некоторой точке как показано на рисунке б), таким образом через точку будут проходить две параллельные прямые, но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит наше предположение неверно и
Теорема, обратная теореме о накрест лежащих углах
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны
Дано: , 
секущая
Доказать: 
Теорема, обратная теореме о накрест лежащих углах
Доказательство: предположим противное, что 
. Построим угол 
, который будет равен углу 2, так чтобы эти углы были накрест лежащими, тогда 
. Тогда через точку проходят две параллельные прямые и 
, которые параллельны прямой , но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит наше предположение неверно, следовательно . Теорема доказана
Следствие из теоремы
Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой
Следствие из теоремы
так как 
, то 
. Прямая является секущей для прямых и , поэтому как накрест лежащие углы, следовательно 
, значит 
Теорема, обратная теореме о соответственных углах
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны
Дано: , 
секущая
Доказать:
Доказательство: 
как накрест лежащие углы, 
как вертикальные углы, следовательно, . Теорема доказана
Теорема, обратная теорема об односторонних углах
Теорема. Если две параллельные пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 
Дано: , секущая
Доказать: 
Доказательство: как соответственные углы, 
как смежные углы, следовательно . Теорема доказана
Теорема о соответственно параллельных сторонах
Теорема. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют
Дано: 
Доказать: 
или 
Доказательство: рассмотрим два случая изображенных на рисунках а) и б), прямая 
является секущей для параллельных прямых 
и 
, она пересечет прямую в некоторой точке . Параллельные прямые 
и 
пересечены секущей 
. Поэтому угол 1, образованный при пересечении прямых и равен углу 
как накрест лежащий. Параллельные прямые и пересечены секущей 
, поэтому 
как на рисунке а) или 
, следовательно 
или 
. Теорема доказана
Теорема о соответственно перпендикулярных сторонах сторонах
Теорема. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют
Дано:
, 
Доказать: 
или
Доказательство: рассмотрим первый случай, представленный на рисунке а) 
. Проведем луч 
, так чтобы 
, а точки и 
лежали по разные стороны от прямой .
Проведем луч 
, чтобы 
, а точки и 
лежали по одну сторону от прямой . Так как 
и 
, 
. Поскольку стороны угла 
параллельны сторонам угла 
, то 
или 
, следовательно : или
Рассмотрим второй случай, представленный на рисунке б), когда 
. Проведем луч так, чтобы угол 
был смежным с углом . Угол острый, и его стороны перпендикулярны сторонам угла . Следовательно, 
или 
, тогда : или . Теорема доказана