Определение. Аксиома — это утверждение, которое считается верным и не нуждается в доказательстве 

Ранее мы уже встречались с аксиомами, например: 

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну 

Аксиома о сравнении двух отрезков:

На любом луче от его начала можно отложить отрезок равный данному, и притом только один

Аксиома о сравнении двух углов:

От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один 

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую параллельную данной, и притом только одну

Рассмотрим прямую a и точку B, не лежащую на данной прямой

Проведем через точку прямую , перпендикулярную к прямой , и прямую , перпендикулярную к прямой

так как две прямые перпендикулярные к третьей параллельны, то

Если прямую повернуть на достаточно малый угол, то она пересечет прямую , значит через точку можно провести только одну прямую параллельную прямой

 Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую

Даны параллельные прямые и .Пусть прямая пересекает прямую в точке , но не пересекает прямую . Так как не пересекает , то , но так как прямые и проходят через точку , то возникает противоречие аксиоме о параллельных прямых

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны

докажем, что прямые и параллельны зная, что и . Предположим, что и не параллельны, тогда они будут пересекаться в некоторой точке как показано на рисунке б), таким образом через точку будут проходить две параллельные прямые, но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит наше предположение неверно и

 Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Дано: ,  секущая

Доказать:

Доказательство: предположим противное, что . Построим угол , который будет равен углу 2, так чтобы эти углы были накрест лежащими, тогда . Тогда через точку проходят две параллельные прямые и , которые параллельны прямой , но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит наше предположение неверно, следовательно . Теорема доказана

Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой

так как , то . Прямая является секущей для прямых и , поэтому как накрест лежащие углы, следовательно , значит

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Дано:  ,  секущая

Доказать: 

Доказательство: как накрест лежащие углы, как вертикальные углы, следовательно, . Теорема доказана

Теорема. Если две параллельные пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна

Дано: ,  секущая

Доказать: 

Доказательство: как соответственные углы, как смежные углы, следовательно . Теорема доказана

Теорема. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют

Дано:

Доказать: или

Доказательство: рассмотрим два случая изображенных на рисунках а) и б), прямая является секущей для параллельных прямых и , она пересечет прямую в некоторой точке . Параллельные прямые и пересечены секущей . Поэтому угол 1, образованный при пересечении прямых и равен углу как накрест лежащий. Параллельные прямые и пересечены секущей , поэтому как на рисунке а) или , следовательно или . Теорема доказана

Теорема. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют

Дано:,

Доказать: или

Доказательство: рассмотрим первый случай, представленный на рисунке а) . Проведем луч , так чтобы , а точки и лежали по разные стороны от прямой .

Проведем луч , чтобы , а точки и лежали по одну сторону от прямой . Так как и , . Поскольку стороны угла параллельны сторонам угла , то или , следовательно : или

Рассмотрим второй случай, представленный на рисунке б), когда . Проведем луч так, чтобы угол был смежным с углом . Угол острый, и его стороны перпендикулярны сторонам угла . Следовательно,  или , тогда : или . Теорема доказана