Окружность и круг

cover
4505
Моя жизнь перевернулась на 360 градусов! Сколько раз тебе приходилось слышать эту фразу? В статье выясним, что не так с 360 градусами и какие еще секреты таит в себе самый обычный круг.
19 января 2024 г.
Содержание статьи

Окружность и круг: в чем разница?

Давай отдельно поговорим об этом вопросе, потому что достаточно лишь один раз перепутать эти два объекта — и ты уже будешь ходить без головы. Почему? Потому что математики тебе ее оторвут!


Так вот, круг — это ровно то, что мы привыкли так называть. С ним все просто и понятно. А окружность — это буквально то, что его окружает. 


Давай посмотрим, например, на пиццу. Само по себе блюдо, как правило, готовится в форме круга. А вот корочки, которые мы потом нещадно оставляем в коробке — это окружность. Кстати, кусочки пиццы будут называться секторами, но об этом чуть позже.

Определение окружности

Жаль, что в математике не очень любят метафоры и определение с корочками пиццы здесь не прокатит. Так что давай посмотрим на строгое определение. 


Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. 


Существует также второе определение.


Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра. 


Согласись, в этой формулировке уже появляется ясность. Читая такое предложение, мы можем представить, что представляет из себя наше геометрическое «явление» и как оно выглядит. Кстати, вот как.



В реальном мире такой фигурой можно было бы назвать кольцо, гимнастический обруч, пончик или спасательный круг.


Несмотря на то, что окружность — это всего лишь кривая линия, внутри которой пустота, у этого геометрического объекта есть несколько важных составляющих.


  1. Радиус — это отрезок, проведенный из центра окружности в любую из точек, лежащих непосредственно на ней. Он в геометрии обозначается буквой R (или r). 
  2. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности, и проходящий через ее центр. Диаметр в математике обозначается буквой d и он всегда равен двум радиусам (d = 2R).
  3. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки, лежащих на окружности, но не обязательно проходящий через ее центр. Соответственно, хорда может быть любой длины, вне зависимости от длин радиуса и диаметра.
  4. Дуга — это часть окружности, заключенная между двумя произвольными точками на ней.

Определение круга

Вернемся на минутку в наш гастрономический мир: круг — это целая пицца. Это и корочки, и тесто, и то, что внутри. Или, говоря языком математиков,


Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.


В реальной жизни такую геометрическую фигуру представляет собой не только пицца, но и, например, монеты, тарелки, некоторые дорожные знаки и циферблат часов.


Окружность составляет часть круга, поэтому ее элементы автоматически переходят нашему геометрическому объекту: у него тоже есть радиус, диаметр, хорда и дуга. Но кроме них важно познакомиться с еще двумя неотъемлемыми составляющими фигуры.


1) Сектор — это часть круга, которую ограничивают радиусы и дуга. Ранее мы уже приводили в пример треугольные кусочки пиццы — они и будут называться секторами фигуры. Но и оставшаяся часть блюда тоже будет составлять сектор — просто большой и не треугольный. Так что в круге не может быть всего один сектор — их либо два, либо больше двух.


2) Сегмент — это часть круга, которую ограничивают хорда и дуга. Ну то есть, сегмент получится, если мы разрежем пиццу не на треугольные кусочки, а абы-как: просто проведем ножом от одного края к другому, не затрагивая середину — тогда образуются два сегмента.


Формулы для окружности и круга

Не будем долго рассказывать сказки: просто запомним необходимые формулы.


Длина окружности: , где R — радиус, а d — диаметр.

Длина дуги: ​, где n показывает, какую часть окружности занимает дуга (в градусах).

Площадь круга:

Площадь сектора: , где 𝛂 — это угол дуги, ограничивающей сектор (в градусах).

Площадь сегмента: , где 𝛂 — это угол дуги, ограничивающей сегмент (в градусах).

Углы окружности

Внутри окружности далеко не всегда находится пустота. Например, мы уже нашли в ней центр, радиус, диаметр и хорду. А еще во внутренней части нашего геометрического пространства могут находиться углы — причем самые разные.


Центральным называется угол, который опирается на дугу окружности, а вершина его находится в центре. 


Он всегда равен градусной мере дуги, на которую опирается.


Вписанным называется угол, который опирается на дугу окружности, а вершина его лежит на самой окружности. 


Такой угол всегда равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается — и половине центрального угла, если опирается на одну дугу с ним. А вписанный угол, который опирается на диаметр, неизменно будет равен 90 градусам.



Вот и все! Нам удалось ближе познакомиться с «геометрической пиццей» и узнать об ее особенностях. Теперь пришло время проверить усвоенные знания.

Проверь себя

Что из перечисленного ниже можно назвать кругом?

— Обручальное кольцо.

— Волейбольный мяч.

— Дорожный знак с ограничением скорости.


Чем сегмент отличается от сектора?

— Сегмент опирается на хорду и дугу.

— Сегмент опирается на радиусы и дугу.

— Сегмент в круге только один.


Если вписанный угол окружности равен 40 градусам, какова градусная мера дуги, на которую он опирается?

— 20 градусов.

— 40 градусов.

— 80 градусов.

Admin1