Теорема Виета

cover
11170
Опять эти квадратные уравнения! На экзамене много времени занимает подсчет корней через дискриминант. А что если есть теорема, которая может оптимизировать решение? Не веришь? Читай статью, все покажем.
12 января 2024 г.
Содержание статьи

Формула Виета

Если тебе кажется, что ты один не любишь решать эти сложные многочлены через дискриминант, то это не так. Видимо, великому математику Франсуа Виету тоже не нравилось это все, и он решил, что пора изобрести простой и действенный способ. И у него получилось! Теперь формула, которую он вывел, носит его имя и называется теоремой.


Теорема Виета гласит, что если у нас есть квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 (при a ≠ 0) то сумма корней x1 и x2 равна -b/a, а произведение корней равно c/a.


Если у нас есть квадратное уравнение, в котором а = 1, x² + bx + c = 0, то оно называется приведенным. И сумма корней равна -b, а произведение корней равно c.

С помощью этих формул квадратные трехчлены решаются на изи. Они точно помогут тебе сократить время на решение задач контрольных и экзаменов по математике. Осталось только разобрать с тем, как ими воспользоваться.

Доказательство теоремы Виета

Но сперва разберемся, почему это правда и дадим этим равенствам математическое объяснение. И сделаем это через любимый всеми дискриминант. 

Итак, допустим у нас есть приведенное уравнение: x² + bx + c = 0.


Мы знаем, что в случае, когда D ≥ 0, корни можно найти по следующим формулам:


x1 = (-b - √D) / 2 и x2 = (-b + √D) / 2


Пробуем их сложить и перемножить.

x1 + x2 = (-b - √D) / 2 + (-b + √D) / 2 = (-b - √D - b + √D) / 2 = -2b / 2 = - b


x1 * x2 = (-b - √D) / 2 * (-b + √D) / 2 = (-b - √D) * (-b + √D) / 4 = (-b)2 - (√D)2 / 4 = b2 - D / 4 = b2 - (b2 - 4c) / 4 = b2 - b2 + 4c / 4 = 4c / 4 = c.


Что и требовалось доказать.

Обратная теорема Виета

Теперь, когда мы знаем эту теорему, мы можем использовать ее обратно. 


Если x1 + x2 = -b, а их произведение равно с, то это всегда корни уравнения x² + bx + c = 0.


Решение примеров

А теперь самое интересное! Посмотрим на примерах.


У нас есть приведенный квадратный трехчлен x² - 5x + 6 = 0. 


Исходя из условия теоремы, мы можем сказать:

x1 + x2 = 5

x1 * x2 = 6


Теперь мы можем подобрать подходящие корни. И начнем подбор с произведения, так как тут мы имеем меньше вариантов: 2 и 3 или 1 и 6. Подставляем эти решения в первое равенство и получаем, что 6 и 1 в не дадут 5, а 2 и 3 — очень даже.


И теперь делаем вывод, что корни уравнения следующие:

x1 = 2;

x2 = 3.


На изи, согласись! Никаких сложных вычислений и долгих поисков. А теперь остается только поблагодарить господина Виета за его труд и проверить, всё ли тебе удалось понять.

Проверь себя

По теореме Виета произведение корней для приведенного уравнения x² + bx + c = 0 равно…

-с;

c;

-b.


Сумма корней неприведенного уравнения ax² + bx + c = 0 по теореме Виета равна…

с/а;

b/a;

-b/a.


Корнями уравнения x² - 10x + 9 = 0 будут…

1 и 9;

3 и 3;

4 и 5.

Admin1