Область определения функции
Понятие области определения функции
Представим, что у нас есть математическая машина, которая развозит числа по их адресам, а область определения — это маршрут этой машины: точки, в которых она своих цифровых пассажиров будет высаживать. Только на своем маршруте машина может работать.
Вот так, собственно, и происходит в математике.
Область определения функции — это все те значения, которые может принимать х в рамках заданного выражения.
Проще говоря, это исходные значения, которые можно подставить в y = f(x) вместо х. Если представить графически, то это те точки по оси х, через которые проходит график.
Обычно такое множество обозначают буквой D(f). То что x принадлежит к определенному множеству чисел Х, которое входит в область определения функции, можно обозначить как x ∈ X.
Как найти область определения функции
Найти область определения функции можно на изи, если понимать, какой у нее тип. От этого зависит метод, с помощью которого можно найти нужное нам множество.
Посмотрим, на какие моменты у разных типов нужно обратить внимание.
Для постоянной функции, заданной действительным числом С — y = f(x) = C — областью определения будут все действительные числа R. Записать это можно как D(f) = (-∞, +∞) или D(f) = R.
Для дробного выражения с переменной в знаменателе f(x) = 1(x - С), нужно этот знаменатель приравнять к нулю, так как на ноль делить нельзя. И далее нам нужно просто исключить найденные х. Нам нужно только то, что не входит в это исключение.
Для f(x) = √x — с переменной внутри корня четной степени, будет верным, что выражение под корнем не должно быть отрицательным. Значит, решаем нервенство, в котором подкоренное выражение больше или равно 0. Найденные х и будут ответом.
Итак, чтобы найти область определения функции f(x) помните: на ноль делить нельзя и подкоренное выражение всегда неотрицательно.
В итоге это те x, при которых наше выражение имеет смысл и не вызывает математических ошибок.
Теперь ты знаешь правила, с помощью которых легко сможешь находить нужный диапазон иксов!
Примеры
Конечно, проще будет разобраться в этих страшных математических правилах на простых примерах. А заодно разберемся, как правильно указывать наш результат в ответе.
- Дано: g(x) = 1/(x - 2).
Здесь делитель — это (x - 2).
Как мы прекрасно помним, на ноль делить нельзя, следовательно мы приравниваем к нулю наш знаменатель, чтобы исключить то, что мы получим.
x - 2 = 0
х = 2
Мы понимаем, что результат включает все числа, кроме 2.
Твой ответ будет выглядеть так: D(f) ∈ (-∞, 2) ∪ (2, +∞).
Обрати внимание, что когда мы не включаем значение в промежуток, используем круглую скобку!
1. Дано: g(x) = √(x - 3)
Мы имеем подкоренное выражение х - 3, которое должно быть неотрицательно, то есть х - 3 >= 0.
х >= 3
В полученный результат входят числа, которые больше или равны 3.
Ответ будет выглядеть так: D(f) ∈ [3, +∞).
Обрати внимание, что когда мы включаем значение в промежуток, используем квадратную скобку!
Проверь себя
Что такое область определения функции?
- все значения x, при которых y = f(x) будет математически верной;
- все значение x, которые входят в промежуток (-∞, +∞);
- все значения y, которые принимает функция.
Если функция y = f(x) дробная и имеет переменную в знаменателе, область определения будет исключать...
- все значения меньше 0;
- все значения, при которых знаменатель равен 0;
- все значения, которые мне не нравятся.
Какая область определения применима для функции g(x) = √(3 - х)?
- D(f) ∈ (-∞, 3);
- D(f) ∈ (-∞, 3] ∪ [3, +∞);
- D(f) ∈ (-∞, 3].