Теория вероятности

cover
25228
Какова вероятность, что на экзамене мне встретится именно эта тема? Вот разберемся с теорией вероятности — и все выясним!
24 июля 2023 г.
Содержание статьи

Что такое теория вероятности

Теория вероятности — одна из самых сложных тем в математической программе. Но тем, кто планирует поступать на техническую специальность, с ней точно придется подружиться. Да и к тому же в школе изучаются только основы теории вероятности, так что нам достаточно разобрать пару примеров и перестать ее бояться. Поехали?


Ты когда-нибудь подкидывал игральный кубик, чтобы получить результат? Кажется, что выпавшая цифра — это чистая фортуна. Конечно, доля удачи в этой ситуации есть. Но выпадение определенного числа — это строгий процент вероятности.


В теории вероятности важно помнить одно правило: случайности не случайны. Каждое неопределенное явление подчиняется законам логики и математики. И именно теория вероятности помогает нам описывать, анализировать и просчитывать возможность возникновения случайных событий.


Теория вероятности применяется в самых разных сферах: физике, экономике, статистике, компьютерных науках. И нужна она далеко не только для задачек на ЕГЭ: теория вероятности часто используется на практике.


На первый взгляд теория вероятности кажется сложной, а иногда даже очень сложной. Но нам, людям науки, унывать не стоит: как в других разделах математики, здесь все действия подчиняются законам и… привязываются к терминам.



Основные понятия теории вероятности

Случайный эксперимент — это ситуация, где есть несколько возможных результатов, и мы можем заранее определить вероятность каждого из них.


Примеры: подбрасывание монеты, бросание кубика, измерение величин или проведение социологического опроса.


Пространство элементарных событий — это список (множество) всех возможных результатов эксперимента. Каждый результат в этом списке является возможным исходом.


Событие — это некоторые возможные результаты из списка всех возможных результатов эксперимента. Событие может состоять из одного или нескольких результатов.


Пример: если эксперимент — бросок монеты, то событием может стать «выпадение орла».


Вероятность — это численная характеристика возможности возникновения события в заданных условиях. То есть, это число, которое показывает, насколько вероятно возникновение события в определенных условиях.


Условная вероятность — это возможность возникновения события A при условии, что событие B состоялось. Обозначается символами P(A | B).


Случайная величина — это численный итог эксперимента. То есть, это число или значение, полученное в результате эксперимента или случайного события. Случайная величина может принимать дискретные или непрерывные значения. 


— Дискретные значения — это отдельные результаты, которые могут быть перечислены и не образуют бесконечного непрерывного набора.

Примеры: количество выпавших орлов при бросании монеты, число заявок в час в call-центре или количество посетителей на сайте за день.


— Непрерывное значение — это любое значение из некоторого интервала на числовой прямой. 

Примеры: время ожидания автобуса, длина листа бумаги или вес человека.


Математическое ожидание — среднее значение, которое ожидается получить при проведении большого количества экспериментов.


Дисперсия — это показатель разброса случайной величины от ее среднего значения. Она используется для измерения степени изменчивости случайной величины: чем больше дисперсия, тем больше разброс значений.


Функция распределения F(x) — это описание вероятности, что случайная величина примет определенное значение или значение, которое меньше заданного. Функция всегда неотрицательна и не превышает единицу.


Массовая функция вероятности f(x) — это описание вероятности, что дискретная случайная величина примет определенное значение из ее области определения. Иллюстрируется таблицей распределения, которая показывает сопоставление каждого возможного значения X и соответствующей ему вероятности.


Функция плотности вероятности — это график, который показывает, как вероятность распределена вдоль оси значений случайной величины.

Событие

Событие — это любой вероятный результат эксперимента или случайного процесса.

Например, если бросить шестигранный кубик, то возможны 6 результатов — [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Каждый результат — это и есть событие.


События у нас придуманы не просто так: мы можем не только смотреть на них, но и совершать с ними алгебраические действия: объединять, пересекать и дополнять события. 


События могут быть разных видов:

Два события независимые, если возникновение одного не влияет на вероятность возникновения другого.

Совместные события — это те, которые могут случиться в ходе одного испытания и не исключают друг друга.

Несовместные события — это те, которые не могут стать исходом эксперимента одновременно.



Алгебра событий

Алгебра событий — это правила, которые используются для операций с событиями и расчета вероятности сложных событий. То есть, это просто набор правил, которые помогают нам работать с событиями и вычислять вероятности их наиболее сложных комбинаций.


Правило дополнения


Для события его дополнение — это исходы, не принадлежащие этому событию.

Пример: если событие — это «выпадение орла», то дополнением будет «выпадение решки».


Правило объединения


Объединение A ∪ B содержит все исходы, которые относятся хотя бы одному из событий A и B.

Пример: если событие A — «выпадение орла», а событие B — «выпадение решки», то объединением этих событий будет «выпадение орла или решки».


Правило пересечения


Пересечение A ∩ B содержит все исходы, которые одновременно принадлежат событиям A и B.

Пример: событие A — выпадение значений кубика: [1, 2, 3, 4], событие B — выпадение значений кубика: [2, 4, 5, 6]. Тогда пересечением этих событий будет выпадение значений: [2, 4].


Правило дистрибутивности


Для трех событий A, B и C выполняется следующее равенство: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).


Правило коммутативности


Для двух событий A и B выполняется следующее равенство: A ∪ B = B ∪ A и A ∩ B = B ∩ A.


Правило ассоциативности


Для трех событий A, B и C выполняется следующее равенство: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) и (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).


Сложение вероятности


Правило суммы вероятностей применяется, когда мы хотим вычислить вероятность того, что произойдет хотя бы одно из нескольких возможных событий.


Правило сложения вероятности для несовместных событий A и B:  

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Правило сложения вероятности для совместных событий A и B: 

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).


P(A) и P(B) — вероятности событий A и B, а P(A ∩ B) — вероятность пересечения событий A и B.


Умножение вероятности


Правило произведения вероятностей используется, когда нам нужно определить вероятность того, что два или более событий произойдут одновременно.


Правило произведения вероятностей для независимых событий A и B:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

Правило произведения вероятностей для зависимых событий A и B: 

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A).


P(A) — вероятность наступления события A, а P(B|A) — условная вероятность наступления события B при условии, что событие A произошло.



Формулы теории вероятности

Для того, чтобы решать задачи по теории вероятности, главное — знать формулы. И вот самые важные из них: 


Классическое определение вероятности

Вероятность события A:

P(A) = (благоприятные исходы для A) / (общее число возможных исходов)


Формула полной вероятности:

P(A) = Σ P(Bi) P(A|Bi)


где Bi - непересекающиеся события, образующие полную группу, P(Bi) - вероятность события Bi, а P(A|Bi) - вероятность A при случившихся событиях Bi.


Формула Байеса:

P(B|A) = P(A|B) * P(B) / Σ P(Bi) P(A|Bi)


где P(B|A) - вероятность события B при случившемся событии A, P(A|B) - вероятность события A при случившемся событий B, P(B) - вероятность события B, P(A) - полная вероятность события A.


Формула математического ожидания:

E(X) = Σ(xi*P(X=xi))


где X - случайная величина, xi - значения случайной величины X, P(X=xi) - вероятность, что случайная величина X принимает значение xi.



Как решать задачи на теорию вероятности

Ну что, пришло время для самого страшного? Хотя после всей изученной теории уже должно быть совсем не страшно, а, наоборот, любопытно — как же это все применять? 


Смотрим на реальные задания ЕГЭ и… понимаем, что это ваще легкотня!


Задача 1:

В коробке находится 16 красных и 4 синих шаров. Из коробки вытаскивают один шар наугад. Какова вероятность того, что шар окажется красным?


Решение: 

Сначала посчитаем общее число шаров в коробке: 16 + 4 = 20. Теперь, чтобы вычислить вероятность того, что шар окажется красным, нам нужно просто примерить число красных шаров (16) к общему числу шаров (20). Получаем: 16/20 = 4/5 или 0,8.


Задача 2:

В компании работают 20 мужчин и 10 женщин. Среди мужчин 25% имеют высшее образование, а среди женщин — 40%. Какова вероятность того, что случайно выбранный сотрудник с высшим образованием будет женщиной?


Решение: 

Такие задачи лучше решать поэтапно. Начнем с определения вероятности, что случайно выбранный сотрудник — женщина. Для этого нам нужно разделить количество женщин в компании (10) на общее число сотрудников (30): 10/30 = 1/3. 

Дальше нам нужно найти вероятность того, что выбранный сотрудник имеет высшее образование. С помощью алгебраических вычислений мы выясняем, что диплом есть у 5 мужчин (25*20/100 = 5) и 4 женщин (40*10/100 = 4). Тогда искомая вероятность равна 5/30 + 4/30 = 9/30 = 3/10. 

Теперь берем все полученные данные и получаем, что вероятность того, что случайно выбранный сотрудник с высшим образованием будет женщиной, равна (1/3)*(3/10) = 1/10.



Admin1