Движение по окружности
Равномерное движение по окружности
Страх перед именем, только усиливает страх перед… ой, это не сюда. Давай сразу определим, с чем сегодня будем работать.
Равномерное движение по окружности — такой вид механического движения, при котором траектория тела представляет собой окружность заданного радиуса, а вектор скорости сохраняет свою величину постоянной.
С траекторией все более менее понятно. Про скорость вроде тоже ясно, будет постоянной. Разве есть какой-то подвох?
Проблема пришла откуда не ждали. Скорость — штука векторная. А векторы — не просто забавные стрелочки, но имеют конкретный модуль и направление. Это все будет и у скорости. Другими словами, важно не только с какой скоростью ехать, надо еще понимать куда.
Несмотря на постоянную скорость, направление движения объекта меняется в каждой точке окружности, что приводит к изменению скорости. В каждой точке направление меняется в сторону касательной к окружности.
Когда мы двигаемся по дуге или по окружности, например, на автобусе при круговом движении, если в точке А 60 км/ч, то и в точке В столько же, но стрелка показывает уже в другую сторону.
Для нас это значит, что, хотя скорость постоянная, что-то заставляет ее менять направление. Об этом еще поговорим.
Чтобы путаницы было поменьше, привычной скорости решили дать отдельное имя:
Линейная скорость описывает пройденное расстояние за единицу времени.
Для движения по окружности она будет постоянна по величине в любой точке и направлена по касательной к траектории.
Интересный факт: мгновенная скорость при движении по дуге или окружности всегда будет направлена по касательной к траектории в точке наблюдения. Если мы решим измерить скорость для часовой стрелки ровно в полдень, то ее вектор будет направлен направо от циферблата.
Угловая скорость
Раз линейная скорость в движении по окружности нам не поможет, нужно найти такую величину, которая будет в состоянии ответить на вопрос о положении тела в пространстве.
Угловая скорость (ω) — это отношение угла поворота (φ), на который поворачивается тело, движущееся по окружности с постоянной скоростью, к промежутку времени, за которой произошел поворот.
В виде формулы будет выглядеть так:
𝛚 = 𝚫𝛗 ÷ 𝚫t
𝚫𝛗 - изменение меры угла, относительно начального положения (в радианах);
𝚫t - время, за которое угол изменился.
Пример
Если машина едет прямо по шоссе, то ее скорость будет линейной. Но если мы имеем дело с гоночным болидом, мчащимся по круговой трассе, то мы будем применять понятие скорости угловой.
Особенность угловой скорости в ее единицах измерения — радианы в секунду [рад/с]. Радиан рассчитывается по формуле 1 рад = 360°2 и равен ≈ 57°.
1 рад/с — это такая угловая скорость, при которой тело повернется на угол в 1 радиан за 1 секунду.
Выражают радианы обычно через π:
- четверть окружности из 90॰ станет π/2;
- половина — это уже не 180॰, а π;
- тогда полный круг будет равен 2π, вместо 360॰.
Период и частота вращения
Мы уже знаем, что движение по кругу — это совершение полного оборота с определенной скоростью. А чтобы правильно обозначить этот процесс, нам понадобятся ещё две новые величины. Они связаны со временем и на самом деле облегчают описание перемещения тел.
Период обращения (Т) — это время, которое требуется на один полный оборот.
Специальных условий нет, все привычно. Помнишь часы со стрелками? Длинная стрелка делает полный оборот за час, то есть её период обращения равен часу. Какой тогда период обращения короткой стрелки? Правильно, 12 часов. Отталкиваемся от этих ценных знаний и определяем сколько осталось до конца урока.
Для выведения формулы периода нам необходимо представить длину окружности как расстояние, пройденное при определенной линейной скорости, что будет выглядеть так:
T = 2rv, где
2𝛑r — длина окружности
v — линейная скорость (в системе СИ измеряют в метрах в секунду (м/с))
Частота вращения () — это сколько полных оборотов уложится в единицу времени.
Можно говорить о часах, минутах, но чаще пользуются секундами. При этом частоту мы измеряем не совсем в них.
Единица частоты вращения в СИ — секунда в минус первой степени (обратная секунда или Герц). Формула выглядит так:
𝛖 = 1/T, где
T — период вращения (в системе СИ измеряют в секундах (с))
Все эти формулы сводятся к одной, помогающей вычислить угловую скорость (𝛚): 𝛚 = 2𝛑/T = 2𝛑𝛖, где
𝛑 — математическая константа Пи
T — период вращения
𝛖 — частота
Центростремительное ускорение
Вот интересный факт: при равномерном движении по окружности скорость может быть постоянной, но направление — никогда. Это изменение направления вызвано тем, что мы называем центростремительным ускорением.Без него точка шла бы по прямой траектории, ввиду инерции.
Центростремительное ускорение (ац) тянет движущуюся точку или тело к центру круга, заставляя его двигаться по круговой траектории.
Формула для центростремительного ускорения:
ац= v2/R ,где
v - скорость тела
R - радиус окружности
Исходя из ранее выведенных формул, мы можем представить центростремительное ускорение как:
ац=4R2/T2 или ац= 4𝛑2𝛖R или ац= 𝛚2R
Закрепим все, что обсудили:
- есть скорость, которая не меняется по величине при движении по окружности — линейная;
- угловая скорость показывает на какой угол за определенное время тело сдвинулось;
- чтобы удобнее изучать движение по окружности, добавили две величины, которые обратны друг другу — частоту и период вращения;
- через новые величины выразили связь линейной и угловой скоростей, получилось 𝛖 = ωR;
- хоть у вектора не меняется модуль, направление изменяется, значит в системе есть ускорение;
для нашего движения оно будет называться центростремительным и считаться по формуле ац= 𝛚2R.
Проверь себя
Минутная стрелка сделала полный оборот. Выбери правильное утверждение
- период вращения стрелки — один час;
- частота вращения стрелки 1/60 1/с;
- ускорение кончика стрелки было направлено от центра часов.
Два гоночных болида едут с одинаковой скоростью по разным трассам. Длина первой — R, а второй — 2R. Чему равно отношение линейных скоростей гонщиков 21?
- 0,5
- 2
- 1
Машина едет по арочному мосту, радиусом 250 м. Верхнюю точку моста машина пересекла со скоростью 40м/с. Чему равно центростремительное ускорение машины?
- 6,4 м/с
- 6,25 м/с
- 7,25 м/с