Рассмотрим уравнение x2 - 3y = 5, если вместо x подставить число 2, а вместо y - число -

1/3, то мы получим верное равенство 22 - 3 ∙ (-1/3) = 5 Пара чисел 2 и -1/3 есть

решение уравнения

Уравнение с двумя переменными может иметь более одного решения, например, можно

найти еще одно решение рассмотренного выше уравнения. Возьмем x равным 0, тогда y

= -5/3



Пару решения уравнения обычно записывают в круглых скобках, где на первом место

стоит значение x, а на втором – y. Решения нашего уравнения можно записать так: (2; -

1/3), (0; -5/3)

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак,

то получится уравнение, равносильное данному

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от

нуля число, то получится уравнение, равносильное данному

Если в какой-либо части или в обеих частях уравнения выполнять тождественное

преобразование, не меняющее области определения уравнения, то получится

уравнение, равносильное данному

Каждое решение уравнения с двумя переменными можно представить в виде точки на

координатной плоскости. Множество этих точек называется графиком уравнения с двумя

переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

ax + by = c, где x и y - переменные, а a,b и c - некоторые числа.

Число c в линейном уравнении называется свободным членом.



Примеры линейных уравнений:

6x - 7y = 13, где a = 6, b = -7, c = 13

-11x + 2y = 4, где a = -11, b = 2, c = 4

Рассмотрим линейное уравнение 4x + 2y = 6 Запишем равносильное ему уравнение y = 3

- 2x и построим его график. Оба уравнения имеют одно и тоже множество решений, а

значит и один и тот же график.

Пары чисел (1/2; -7/4), (-2/3; -7/2), (-1; -4), (3; 2) являются решениями линейного уравнения

3x - 2y = 5 с двумя переменными. В первых двух парах значения x и y не являются

целыми числами, а в двух последних парах x и y - целые числа. Решения, в которых

значения x и y являются целыми числами называются целочисленными решениями. Если

требуется найти все целочисленные решения, то нужно решить уравнение в целых

числах

Рассмотрим уравнение 5x + 4y = 1/2. Оно не имеет целочисленных решений, так как при

целых значениях x и y значение левой части есть целое число, тогда как значение правой

части – число дробное.

Данное уравнение имеет вид ax + by = c, где a и b - взаимно простые числа. По виду

уравнения можно узнать о наличии в нем целочисленных решений: если свободный член

уравнения – дробное число, то уравнение не имеет целочисленных решений.



Уравнение -5x - y = 2 имеет бесконечно много целочисленных решений. Оно имеет вид ax

+ by = c, в котором a или b равно 1 или -1, а свободный член уравнения – целое число.