Линейное уравнение с двумя переменными
Решение уравнения с двумя переменными
Рассмотрим уравнение x2 - 3y = 5, если вместо x подставить число 2, а вместо y - число -
1/3, то мы получим верное равенство 22 - 3 ∙ (-1/3) = 5 Пара чисел 2 и -1/3 есть
решение уравнения
Уравнение с двумя переменными может иметь более одного решения, например, можно
найти еще одно решение рассмотренного выше уравнения. Возьмем x равным 0, тогда y
= -5/3
Пару решения уравнения обычно записывают в круглых скобках, где на первом место
стоит значение x, а на втором – y. Решения нашего уравнения можно записать так: (2; -
1/3), (0; -5/3)
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных,
обращающая это уравнение в верное равенство.
Свойства уравнения с двумя переменными
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак,
то получится уравнение, равносильное данному
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от
нуля число, то получится уравнение, равносильное данному
Если в какой-либо части или в обеих частях уравнения выполнять тождественное
преобразование, не меняющее области определения уравнения, то получится
уравнение, равносильное данному
График уравнения с двумя переменными
Каждое решение уравнения с двумя переменными можно представить в виде точки на
координатной плоскости. Множество этих точек называется графиком уравнения с двумя
переменными.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной
плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения
Линейное уравнение с двумя переменными
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
ax + by = c, где x и y - переменные, а a,b и c - некоторые числа.
Число c в линейном уравнении называется свободным членом.
Примеры линейных уравнений:
6x - 7y = 13, где a = 6, b = -7, c = 13
-11x + 2y = 4, где a = -11, b = 2, c = 4
Пример построения линейного уравнения с двумя переменными
Рассмотрим линейное уравнение 4x + 2y = 6 Запишем равносильное ему уравнение y = 3
- 2x и построим его график. Оба уравнения имеют одно и тоже множество решений, а
значит и один и тот же график.
Целочисленное решение
Пары чисел (1/2; -7/4), (-2/3; -7/2), (-1; -4), (3; 2) являются решениями линейного уравнения
3x - 2y = 5 с двумя переменными. В первых двух парах значения x и y не являются
целыми числами, а в двух последних парах x и y - целые числа. Решения, в которых
значения x и y являются целыми числами называются целочисленными решениями. Если
требуется найти все целочисленные решения, то нужно решить уравнение в целых
числах
Примеры линейных уравнений, которые не имеют целочисленное решение
Рассмотрим уравнение 5x + 4y = 1/2. Оно не имеет целочисленных решений, так как при
целых значениях x и y значение левой части есть целое число, тогда как значение правой
части – число дробное.
Данное уравнение имеет вид ax + by = c, где a и b - взаимно простые числа. По виду
уравнения можно узнать о наличии в нем целочисленных решений: если свободный член
уравнения – дробное число, то уравнение не имеет целочисленных решений.
Уравнение -5x - y = 2 имеет бесконечно много целочисленных решений. Оно имеет вид ax
+ by = c, в котором a или b равно 1 или -1, а свободный член уравнения – целое число.