Трапеция

cover
5183
Мы здесь обычно не обзываемся, сегодня перед нами скорее неровно искромсанный прямоугольник, чем изящная фигура. Возможно, стоит познакомиться с ней поближе, чтобы понять, что сделало трапецию такой…
5 января 2024 г.
Содержание статьи

Что такое трапеция

Нарисовали два параллельных отрезка разной длины и провели еще две линии, соединяющих их края. Вот и получилась трапеция. Ладно, если говорить серьезно, то с точки зрения геометрии, она определяется следующим образом.


Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны друг другу. 


В реальной жизни такую форму напоминает юбка, женская сумочка, обычный советский утюг, торшер и кухонная терка. Вот так натираешь морковь на салат и думаешь о математике… Ой, что-то мы отвлеклись.


Главное отличие нашего «искромсанного» прямоугольника от обычного состоит в том, что его углы не прямые, а боковые стороны не параллельны друг другу. Но и обычным четырехугольником его назвать не получится — все-таки два параллельных основания есть, а это что-то да значит.


Кстати об основаниях (и не только о них). У трапеции есть несколько важных элементов, без которых она не смогла бы быть самой собой.


  1. Два основания. Эти два отрезка всегда параллельны друг другу, а нижний часто длиннее верхнего.
  2. Две боковые стороны. Это два других, непараллельных отрезка, соединяющих два «фундамента» в полноценный четырехугольник. 


А еще в работе с этой фигурой мы используем ее диагонали, высоту и среднюю линию.


Что важно знать об этих отрезках.


1) Диагонали сходятся в точке, которая лежит на одной прямой с точкой пересечения боковых сторон (точнее их продолжений). 


Кстати, та же прямая проходит через середины оснований.


2) Высота всегда соединяет два основания и перпендикулярна каждому из них. Она может быть выпущена из любой их точки.


3) Средняя линия соединяет середины боковых сторон. Она всегда параллельна основаниям и равна их полусумме.


В общем, при работе с этой фигурой нам важны в основном отрезки и углы, которые эти отрезки образуют. Здесь тебе часто будут встречаться принципы, связанные с параллельностью, равенством углов и свойствами диагоналей.

Виды трапеций

Как и с любой геометрической фигурой, с трапециями не все так однозначно. Эти «неправильные четырехугольники» могут принимать самые разные формы — и в зависимости от этого приобретать различные свойства. Давай посмотрим на них поближе.


Равнобедренная трапеция


Как и равнобедренный треугольник, она состоит из двух половинок, которые словно бы зеркалят друг друга. Если разрубить такую трапецию вертикально пополам, получатся две одинаковые части.


Тогда в дополнение к равенству боковых сторон она получит следующие свойства.


  1. Углы при ее основании будут равны.
  2. Ее диагонали будут равны.
  3. Диагонали будут образовывать одинаковые углы с каждым из оснований.


Прямоугольная трапеция


Здесь, опять-таки, название говорит само за себя: у этого вида есть два прямых угла. Да-да, именно два — потому что один взять не получится, а если добавить больше, то будет прямоугольник. Так что берем только два, остальные - меняем.


У этого вида есть два особенных свойства.


  1. Градусная мера двух углов равняется 90 градусам.
  2. Высота совпадает с боковой стороной, которая проходит перпендикулярно основаниям.


Разносторонняя трапеция


Если ничего из вышеперечисленного не обнаружилось — ни равных боковых сторон, ни прямых углов, — то перед нами разносторонняя трапеция. Это такой вид, у которого нет особых отличительных свойств.

Свойства трапеций

Несмотря на то, что обычную разностороннюю фигуру не отличают никакие особенности, трапеция всё же обладает свойствами, присущими абсолютно каждой — к какому бы виду она ни относилась и как бы ни выглядела.


1) Сумма углов, принадлежащих к одной боковой стороне, составляет 180 градусов.


То есть, если сложить меры углов ∠ABC и ∠BAD, мы получим 180 градусов. То же самое произойдет, если сложить ∠BCD и ∠ADC.


2) Биссектриса, проведенная из любого угла фигуры, образует равнобедренный треугольник.


Треугольник DCE, образовавшийся после проведения биссектрисы из угла ∠D, будет равнобедренным. Это значит, что ∠CED будет равен ∠CDE, стороны CE и CD будут равны между собой.


3) Треугольники, которые образованы диагоналями и основаниями, подобны. 


Если мы проведем диагонали в нашей фигуре, то получим два треугольника, прилегающих к основаниям, AOD и BOC — эти треугольники будут подобны. 


4) Треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь. 


То есть, треугольники AOC и DOC имеют одинаковую площадь.

Формулы для трапеции

Средняя линия: , где a и b — это основания, m — средняя линия.

Площадь: или , где h — высота. 

Периметр: , где a, b, c и d — стороны.


Вот мы и закончили изучать фигуру, которая в начале статьи напоминала только лишь юбку или испорченный прямоугольник. Теперь ты знаешь все о ее внешнем виде и свойствах, а также можешь использовать необходимые формулы для решения геометрических задач. 


Что же сделало трапецию такой? Наверное, ее настоящую историю мы никогда не узнаем… Но что мы точно можем сделать — это принимать фигуру такой, какая она есть, и запомнить свойства, которыми она обладает, чтобы никогда в ней не путаться.


Давай теперь проверим свои знания?

Проверь себя

Какое из свойств не относится к средней линии трапеции?

— Делит боковые стороны напополам.

— Равна полусумме оснований.

— Перпендикулярна основаниям.


Какое из свойств верно характеризует углы фигуры?

— Сумма углов при основании равна 180 градусам.

— Углы при основании всегда равны.

— Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, составляет 90 градусов.


Как найти площадь трапеции, зная длину основания и высоту?

— Умножить длину основания на высоту.

— Умножить длину основания на высоту и разделить на два.

— Никак, для вычисления площади не хватает данных.

Admin1