Трапеция

Что такое трапеция
Нарисовали два параллельных отрезка разной длины и провели еще две линии, соединяющих их края. Вот и получилась трапеция. Ладно, если говорить серьезно, то с точки зрения геометрии, она определяется следующим образом.
Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны друг другу.
В реальной жизни такую форму напоминает юбка, женская сумочка, обычный советский утюг, торшер и кухонная терка. Вот так натираешь морковь на салат и думаешь о математике… Ой, что-то мы отвлеклись.
Главное отличие нашего «искромсанного» прямоугольника от обычного состоит в том, что его углы не прямые, а боковые стороны не параллельны друг другу. Но и обычным четырехугольником его назвать не получится — все-таки два параллельных основания есть, а это что-то да значит.
Кстати об основаниях (и не только о них). У трапеции есть несколько важных элементов, без которых она не смогла бы быть самой собой.
- Два основания. Эти два отрезка всегда параллельны друг другу, а нижний часто длиннее верхнего.
- Две боковые стороны. Это два других, непараллельных отрезка, соединяющих два «фундамента» в полноценный четырехугольник.
А еще в работе с этой фигурой мы используем ее диагонали, высоту и среднюю линию.
Что важно знать об этих отрезках.
1) Диагонали сходятся в точке, которая лежит на одной прямой с точкой пересечения боковых сторон (точнее их продолжений).
Кстати, та же прямая проходит через середины оснований.
2) Высота всегда соединяет два основания и перпендикулярна каждому из них. Она может быть выпущена из любой их точки.
3) Средняя линия соединяет середины боковых сторон. Она всегда параллельна основаниям и равна их полусумме.
В общем, при работе с этой фигурой нам важны в основном отрезки и углы, которые эти отрезки образуют. Здесь тебе часто будут встречаться принципы, связанные с параллельностью, равенством углов и свойствами диагоналей.

Виды трапеций
Как и с любой геометрической фигурой, с трапециями не все так однозначно. Эти «неправильные четырехугольники» могут принимать самые разные формы — и в зависимости от этого приобретать различные свойства. Давай посмотрим на них поближе.
Равнобедренная трапеция
Как и равнобедренный треугольник, она состоит из двух половинок, которые словно бы зеркалят друг друга. Если разрубить такую трапецию вертикально пополам, получатся две одинаковые части.
Тогда в дополнение к равенству боковых сторон она получит следующие свойства.
- Углы при ее основании будут равны.
- Ее диагонали будут равны.
- Диагонали будут образовывать одинаковые углы с каждым из оснований.
Прямоугольная трапеция
Здесь, опять-таки, название говорит само за себя: у этого вида есть два прямых угла. Да-да, именно два — потому что один взять не получится, а если добавить больше, то будет прямоугольник. Так что берем только два, остальные - меняем.
У этого вида есть два особенных свойства.
- Градусная мера двух углов равняется 90 градусам.
- Высота совпадает с боковой стороной, которая проходит перпендикулярно основаниям.
Разносторонняя трапеция
Если ничего из вышеперечисленного не обнаружилось — ни равных боковых сторон, ни прямых углов, — то перед нами разносторонняя трапеция. Это такой вид, у которого нет особых отличительных свойств.

Свойства трапеций
Несмотря на то, что обычную разностороннюю фигуру не отличают никакие особенности, трапеция всё же обладает свойствами, присущими абсолютно каждой — к какому бы виду она ни относилась и как бы ни выглядела.
1) Сумма углов, принадлежащих к одной боковой стороне, составляет 180 градусов.
То есть, если сложить меры углов ∠ABC и ∠BAD, мы получим 180 градусов. То же самое произойдет, если сложить ∠BCD и ∠ADC.
2) Биссектриса, проведенная из любого угла фигуры, образует равнобедренный треугольник.
Треугольник DCE, образовавшийся после проведения биссектрисы из угла ∠D, будет равнобедренным. Это значит, что ∠CED будет равен ∠CDE, стороны CE и CD будут равны между собой.
3) Треугольники, которые образованы диагоналями и основаниями, подобны.
Если мы проведем диагонали в нашей фигуре, то получим два треугольника, прилегающих к основаниям, AOD и BOC — эти треугольники будут подобны.
4) Треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь.
То есть, треугольники AOC и DOC имеют одинаковую площадь.

Формулы для трапеции
Средняя линия: , где a и b — это основания, m — средняя линия.
Площадь: или
, где h — высота.
Периметр: , где a, b, c и d — стороны.
Вот мы и закончили изучать фигуру, которая в начале статьи напоминала только лишь юбку или испорченный прямоугольник. Теперь ты знаешь все о ее внешнем виде и свойствах, а также можешь использовать необходимые формулы для решения геометрических задач.
Что же сделало трапецию такой? Наверное, ее настоящую историю мы никогда не узнаем… Но что мы точно можем сделать — это принимать фигуру такой, какая она есть, и запомнить свойства, которыми она обладает, чтобы никогда в ней не путаться.
Давай теперь проверим свои знания?
Проверь себя
Какое из свойств не относится к средней линии трапеции?
— Делит боковые стороны напополам.
— Равна полусумме оснований.
— Перпендикулярна основаниям.
Какое из свойств верно характеризует углы фигуры?
— Сумма углов при основании равна 180 градусам.
— Углы при основании всегда равны.
— Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, составляет 90 градусов.
Как найти площадь трапеции, зная длину основания и высоту?
— Умножить длину основания на высоту.
— Умножить длину основания на высоту и разделить на два.
— Никак, для вычисления площади не хватает данных.