Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Дано: ABC - треугольник, AE, BF, CD - медианы треугольника

Доказать: AK:KE = CK:KD = 2:1

Доказательство: докажем сначала, что любые две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины

1. Рассмотрим медианы AE и CD. Отметим точки P и T, как середины отрезков AK и CK соответственно.
2. PT - средняя линия треугольника AKC, DE - средняя линия треугольника ABC ⇒ PT || DE || AC и PT = 1/2 AC = DE ⇒ PDET - параллелограмм. Диагонали параллелограмма PE и DT делятся точкой пересечения пополам ⇒ PK = KE = AP и DK = KT = CT
3. Следовательно, можно сделать вывод, что AK:KE = CK:KD = 2:1
4. Для медиан BF и AE рассмотрение аналогично

Ч.т.д.

Древнегреческий ученый Архимед доказал, что точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника (барицентром треугольника).

Точка пересечения медиан – замечательная точка треугольника.