Многочлен — это математическое выражение, сумма из нескольких одночленов, и каждый из них — произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.

По сути, как предложение — это комбинация слов, так и многочлен — это набор буквенных и числовых значений. Этот способ позволяет нам выражать сложные математические действия в краткой и удобной форме.

Вот некоторые примеры многочленов. Да, все эти разные выражения, по сути, относятся к одному виду. 

2a + b

4ab + 6a - 8b

5a + 3a² - 7

10a³ + 5a² + 6 + 40

Минутку! А что это были за циферки, там, на картинке с примерами? Поговорим о коэффициентах.

Коэффициенты многочлена — это числа, которые стоят перед переменными множителями.

Эти коэффициенты не ограничиваются целыми числами или дробями, а могут быть любыми вещественными числами. Если перед переменной многочлена нет, то коэффициент будет равен единице.

Так, ну коэффициент — это число перед переменной. Но ведь в некоторых выражениях отдельные числа стоят сами по себе. И что это такое? А это — свободный член, часть выражения, к которой не привязана переменная. Обычно это член выражения, расположенный в конце, сам по себе, без каких-либо x, y или других переменных. 

Хорошо, а теперь давай поговорим о многочленах в их стандартной форме. 

Многочлен стандартного вида — это многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов. 

Проще говоря, в таком многочлене нет одночленов с одинаковыми степенями (подобных), и все члены 

располагаются в порядке убывания степени.

Далее по списку необходимых для понимания свойств идет степень многочлена. 

Степень многочлена — это наибольшая мощность переменной в выражении. 

Представим, что многочлен — это фирма, в которой работают разные сотрудники. Чем выше у сотрудника должность, тем главнее он в фирме, верно? Так вот, степень многочлена определяет, какой одночлен в выражении самый главный. 

Самая большая циферка над одночленом и будет главной в многочлене. 

Порядок следования членов не влияет на значение или равенство многочлена. При необходимости их можно менять местами

Тут всё просто, ты это с первого класса знаешь: при перестановке мест слагаемых сумма не меняется. Многочлен — это, по сути, сумма одночленов, так что совершенно неважно, в каком порядке они будут стоять. 

Пример:

14b²c + 11a + 5 = 11a +14b²c +5

3kx - x² + 6x = -x² + 3kx + 6x

Мы можем объединить похожие члены многочлена путем сложения, чтобы получить новый, равнозначный многочлен.

Представь, что у тебя есть три пакета попкорна, которые нужно пересыпать в миски перед просмотром кино. В двух пакетах попкорн одинаковый. Логичнее взять для этих двух пакетов одну миску, правда? Так и посуды потом меньше мыть. 

Пример:

17x + 3kx² - 13x =17x - 13x + 3kx²= 3kx²+4x

Сначала смотрим на степени одночленов и переставляем их так, чтобы подобные одночлены были рядом. У подобных одночленов можно проделывать математические операции с коэффициентами. Вот мы взяли 17х и -13х, поставили их рядом. 17-13 = 4, у нас останется 4х. Проделав похожую операцию со всеми подобными членами, мы получим аккуратное итоговое выражение: 3kx²+4x

По такому же принципу попробуй самостоятельно разобрать этот пример: 

6bc - 15a + 9bc + a =6bc+9bc+a-15a=15bc - 14a

Добавление 0 к многочлену не изменит его значения.

Тут все еще проще. Если четыре друга принесут на посиделки по вкусняшке, а пятый не принесет ничего, то в компании так и останется четыре вкусняшки. 

Пример:

18kx + 6x + 0 = 9x

18kx +6x = 9x

Давайте еще раз закрепим наше знакомство с многочленами и их свойствами: 

1). Рассмотрим x² + 2x + 1. Это многочлен второй степени, на что указывает то, что наибольшая степень x равна 2. Его коэффициенты равны 1, 2 и 1. Интересно, что при построении графика, когда мы подставим на место x разные числа, этот многочлен представит собой параболу. Поэтому подобные выражения могут использоваться для представления данных статистики, построения графиков и даже описания физических явлений.

2). Другой пример –- 3x⁵ - 2x³ + x - 7. Это многочлен пятой степени, что следует из того, что наибольшая степень x равна 5. Его коэффициенты равны 3, -2, 1 и -7. Этот многочлен может представлять уже другую фигуру на графике.

Да, интересны многочлены, и свойств у них не сосчитать! Но что же нам делать со всем этим великолепием?! Все то же, что и с числами, так как по своей сути каждый многочлен: это «зашифрованное» число. Следовательно, такие выражения можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Для того чтобы сложить многочлены, необходимо просто сложить все его одночлены между собой. Важно помнить о знаках — если перед слагаемым стоит минус, то он останется минусом и при сложении, как, например, в этом примере: 

Представим, что у нас есть два многочлена: 10x³ - 3x² + 10 и x³+4x² - x. Наша задача — их сложить. Для этого приведем оба многочлена в одно выражение и получим: 10x³- 3x² + 10 + x³+4x² - x. Далее сложим члены с одинаковыми степенями: 10x³+ x³- 3x²+4x² -x + 10. В результате получим выражение 11x³+x²-x+10.

Теперь рассмотрим вычитание. Представим, что у нас есть два многочлена: 5x³ - 2x² + 3x - 4 и -3x³ + x²+ 2x - 1. Если мы хотим вычесть второй из первого, мы просто меняем знаки второго многочлена на противоположные, а затем складываем. Таким образом, получается 5x³ - 2x² + 3x - 4 + 3x³ - x² - 2x + 1 = 5x³ + 3x³ - 2x² - x² + 3x - 2x - 4 +1 , что упрощается до 8x³ - 3x² + x - 3.

Перейдем к умножению. Для этого рассмотрим произведение (2x - 3) и (x + 4). Здесь нам просто нужно перемножить все члены каждого многочлена друг на друга:

2х * х = 2x²

2х * 4 = 8х

-3 * x = -3x, 

-3 * 4 = -12. 

Сложив все это, мы получим 2x² + 8х – 3х – 12. Приводим к стандартному виду: 2x² +(8-3)х – 12 = 2x² + 5х – 12

А теперь –- грандиозный финал: деление. Возьмем 10x² и разделим его на 2x. Здесь 10x² — числитель, а 2x — знаменатель. Каждый член в числителе делится на каждый член в знаменателе. 10x²/2x = 10*x²/2x= 5x. Но нельзя забывать, что в данном случае x не может быть равен 0, потому что тогда знаменатель будет равен нулю, а делить на него невозможно.

Как видно, с небольшой практикой действия с многочленами могут стать довольно простым делом. 

Многочлены в самом начале могут показаться непонятными и даже страшными. Но не стоит их бояться! Даже самый длинный, заковыристый и запутанный набор букв и цифр — на деле всего лишь изящный шифр, который в несколько действий превратится в простое и элегантное выражение. 

Главное при работе с многочленами — это следить за количеством одночленов и знаками, чтобы ничего не перепутать и не потерять. А работа с ними пригодится везде: от построения графиков до решения задач на экзамене. 

К слову о задачах…

Проверим новые знания?

Какой степени многочлен 6a² + 9ab - 6b³ + b?

1. Первой
2. Второй
3. Третьей

Выберите сумму всех коэффициентов в 4a - 6 + ba?

1. 10
2. - 1
3. - 2 

Дано выражение, которое необходимо перевести в стандартный вид:

7a³ - 8 + 14b²a² + 21a³ - 16 - 7ab

Выберите вариант ответа, где правильно указан стандартный вид этого многочлена и его свободный член:

1. 28a³ + 14ba² - 7ab + 8, где свободный - 8
2. (14ba⁴) + 28a³ - 7ab - 8, где свободный - (-8)
3. 28a³ + 14b²a² - 7ab - 24, где свободный - (-24)