Многочлены
Понятие многочлена
Многочлен — это математическое выражение, сумма из нескольких одночленов, и каждый из них — произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.
По сути, как предложение — это комбинация слов, так и многочлен — это набор буквенных и числовых значений. Этот способ позволяет нам выражать сложные математические действия в краткой и удобной форме.
Вот некоторые примеры многочленов. Да, все эти разные выражения, по сути, относятся к одному виду.
2a + b
4ab + 6a - 8b
5a + 3a2 - 7
10a3 + 5a2 + 6 + 40
Коэффициенты многочлена
Минутку! А что это были за циферки, там, на картинке с примерами? Поговорим о коэффициентах.
Коэффициенты многочлена — это числа, которые стоят перед переменными множителями.
Эти коэффициенты не ограничиваются целыми числами или дробями, а могут быть любыми вещественными числами. Если перед переменной многочлена нет, то коэффициент будет равен единице.
Примеры:
2a2 + 3x + 5
Коэффициенты равны 2, 3 и 5;
0,9x - 8a3+ x
Коэффициенты равны 0,9, -8 и 1
Свободный член
Так, ну коэффициент — это число перед переменной. Но ведь в некоторых выражениях отдельные числа стоят сами по себе. И что это такое? А это — свободный член, часть выражения, к которой не привязана переменная. Обычно это член выражения, расположенный в конце, сам по себе, без каких-либо x, y или других переменных.
Примеры:
В 2x2 + 3x + 5 свободным членом является 5;
В 16 - 18х + 6 свободные члены будут 16 и 6.
Многочлен стандартного вида
Хорошо, а теперь давай поговорим о многочленах в их стандартной форме.
Многочлен стандартного вида — это многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Проще говоря, в таком многочлене нет одночленов с одинаковыми степенями (подобных), и все члены
располагаются в порядке убывания степени.
Пример:
2x3 - 3x2 + 4x - 1
Этот многочлен начинается с члена с наибольшей степенью (x3) и заканчивается наименьшей степенью (x0, которая представляет собой самостоятельное число -1). Степени идут по порядку, от большей к меньшей — перед нами многочлен в стандартной форме.
Как же привести многочлен к такому виду? Это так же просто, как собрать детскую пирамидку! Нужно просто переставить члены так, чтобы они шли от высшей степени к низшей. И вуаля! Теперь наш многочлен имеет стандартную форму.
Степень многочлена
Далее по списку необходимых для понимания свойств идет степень многочлена.
Степень многочлена — это наибольшая мощность переменной в выражении.
Представим, что многочлен — это фирма, в которой работают разные сотрудники. Чем выше у сотрудника должность, тем главнее он в фирме, верно? Так вот, степень многочлена определяет, какой одночлен в выражении самый главный.
Самая большая циферка над одночленом и будет главной в многочлене.
Примеры:
В 2x2 + 3x + 5 высшая степень равна 2,
В x3 + 16x3- x +8 она будет равна 3.
Для большего удобства в математике не говорят «степень многочлена равна трем/двум», а вместо этого просто называют его многочленом третьей/второй степени.
Свойства многочлена
Порядок следования членов не влияет на значение или равенство многочлена. При необходимости их можно менять местами
Тут всё просто, ты это с первого класса знаешь: при перестановке мест слагаемых сумма не меняется. Многочлен — это, по сути, сумма одночленов, так что совершенно неважно, в каком порядке они будут стоять.
Пример:
14b2c + 11a + 5 = 11a +14b2c +5
3kx - x2 + 6x = -x2 + 3kx + 6x
Мы можем объединить похожие члены многочлена путем сложения, чтобы получить новый, равнозначный многочлен.
Представь, что у тебя есть три пакета попкорна, которые нужно пересыпать в миски перед просмотром кино. В двух пакетах попкорн одинаковый. Логичнее взять для этих двух пакетов одну миску, правда? Так и посуды потом меньше мыть.
Пример:
17x + 3kx2 - 13x =17x - 13x + 3kx2= 3kx2+4x
Сначала смотрим на степени одночленов и переставляем их так, чтобы подобные одночлены были рядом. У подобных одночленов можно проделывать математические операции с коэффициентами. Вот мы взяли 17х и -13х, поставили их рядом. 17-13 = 4, у нас останется 4х. Проделав похожую операцию со всеми подобными членами, мы получим аккуратное итоговое выражение: 3kx2+4x
По такому же принципу попробуй самостоятельно разобрать этот пример:
6bc - 15a + 9bc + a =6bc+9bc+a-15a=15bc - 14a
Добавление 0 к многочлену не изменит его значения.
Тут все еще проще. Если четыре друга принесут на посиделки по вкусняшке, а пятый не принесет ничего, то в компании так и останется четыре вкусняшки.
Пример:
18kx + 6x + 0 = 9x
18kx +6x = 9x
Примеры
Давайте еще раз закрепим наше знакомство с многочленами и их свойствами:
1). Рассмотрим x2 + 2x + 1. Это многочлен второй степени, на что указывает то, что наибольшая степень x равна 2. Его коэффициенты равны 1, 2 и 1. Интересно, что при построении графика, когда мы подставим на место x разные числа, этот многочлен представит собой параболу. Поэтому подобные выражения могут использоваться для представления данных статистики, построения графиков и даже описания физических явлений.
2). Другой пример –- 3x5 - 2x3 + x - 7. Это многочлен пятой степени, что следует из того, что наибольшая степень x равна 5. Его коэффициенты равны 3, -2, 1 и -7. Этот многочлен может представлять уже другую фигуру на графике.
Действия с многочленами
Да, интересны многочлены, и свойств у них не сосчитать! Но что же нам делать со всем этим великолепием?! Все то же, что и с числами, так как по своей сути каждый многочлен: это «зашифрованное» число. Следовательно, такие выражения можно складывать, вычитать, умножать и делить.
Для того чтобы сложить многочлены, необходимо просто сложить все его одночлены между собой. Важно помнить о знаках — если перед слагаемым стоит минус, то он останется минусом и при сложении, как, например, в этом примере:
Представим, что у нас есть два многочлена: 10x3 - 3x2 + 10 и x3+4x2 - x. Наша задача — их сложить. Для этого приведем оба многочлена в одно выражение и получим: 10x3- 3x2 + 10 + x3+4x2 - x. Далее сложим члены с одинаковыми степенями: 10x3+ x3- 3x2+4x2 -x + 10. В результате получим выражение 11x3+x2-x+10.
Теперь рассмотрим вычитание. Представим, что у нас есть два многочлена: 5x3 - 2x2 + 3x - 4 и -3x3 + x2+ 2x - 1. Если мы хотим вычесть второй из первого, мы просто меняем знаки второго многочлена на противоположные, а затем складываем. Таким образом, получается 5x3 - 2x2 + 3x - 4 + 3x3 - x2 - 2x + 1 = 5x3 + 3x3 - 2x2 - x2 + 3x - 2x - 4 +1 , что упрощается до 8x3 - 3x2 + x - 3.
Перейдем к умножению. Для этого рассмотрим произведение (2x - 3) и (x + 4). Здесь нам просто нужно перемножить все члены каждого многочлена друг на друга:
2х * х = 2x2
2х * 4 = 8х
-3 * x = -3x,
-3 * 4 = -12.
Сложив все это, мы получим 2x2 + 8х – 3х – 12. Приводим к стандартному виду: 2x2 +(8-3)х – 12 = 2x2 + 5х – 12
А теперь –- грандиозный финал: деление. Возьмем 10x2 и разделим его на 2x. Здесь 10x2 — числитель, а 2x — знаменатель. Каждый член в числителе делится на каждый член в знаменателе. 10x2/2x = 10*x2/2x= 5x. Но нельзя забывать, что в данном случае x не может быть равен 0, потому что тогда знаменатель будет равен нулю, а делить на него невозможно.
Как видно, с небольшой практикой действия с многочленами могут стать довольно простым делом.
Многочлены в самом начале могут показаться непонятными и даже страшными. Но не стоит их бояться! Даже самый длинный, заковыристый и запутанный набор букв и цифр — на деле всего лишь изящный шифр, который в несколько действий превратится в простое и элегантное выражение.
Главное при работе с многочленами — это следить за количеством одночленов и знаками, чтобы ничего не перепутать и не потерять. А работа с ними пригодится везде: от построения графиков до решения задач на экзамене.
К слову о задачах…
Проверим новые знания?
Какой степени многочлен 6a2 + 9ab - 6b3 + b?
- Первой
- Второй
- Третьей
Выберите сумму всех коэффициентов в 4a - 6 + ba?
- 10
- - 1
- - 2
Дано выражение, которое необходимо перевести в стандартный вид:
7a3 - 8 + 14b2a2 + 21a3 - 16 - 7ab
Выберите вариант ответа, где правильно указан стандартный вид этого многочлена и его свободный член:
- 28a3 + 14ba2 - 7ab + 8, где свободный - 8
- (14ba4) + 28a3 - 7ab - 8, где свободный - (-8)
- 28a3 + 14b2a2 - 7ab - 24, где свободный - (-24)